Bonjour ;

1.

On a : f(x) = x³ - 3x² - 24x + 8 ;

donc : f ' (x) = (x³ - 3x² - 24x + 8) '

= (x³) ' - 3(x²) ' - 24(x) ' + (8) '

= 3x² - 3 * 2x - 24 * 1 + 0

= 3x² - 6x - 24

= 3(x² - 2x - 8)

= 3(x² + 2x - 4x - 8)

= 3(x(x + 2) - 4(x + 2))

= 3(x + 2)(x - 4) .

Conclusion : votre réponse est vraie .

2.

On a : x + 2 = 0 si x = - 2 et x - 4 = 0 si x = 4 .

Pour le tableau de signe de f ' veuillez-voir le fichier ci joint .

On a : pour x ∈ [ - 5 ; - 2[ ∪ ]4 ; 5] , f ' est strictement positive ;

donc f est strictement croissante ; et pour x ∈ ]- 2 ; 4[ f ' strictement négative ; donc  f est strictement décroissante .

3.

L'abscisse s du maximum de f sur [- 5 ; 5] annule f ' sur [- 5 ; 5] .

On a donc u = - 2 ou u = 4 , mais on a  : f(- 2) = 36 et f(4) = - 72 ;

donc le maximum de f sur [- 5 ; 5] est : S(- 2 ; 36) .