initialisation pour n=2 d'une part 4^n = 4² = 4×4=16 d'autre part 4 n +1 = 2×2 +1 = 5 16 ≥ 5 vrai donc la propriété est vraie au rang 0 c'est à dire pour n = 2
hérédité supposons que pour un entier naturel k ≥2 4^k ≥ 4 k +1 (hypothèse de récurrence) il faut montrer que la propriété est vraie pour l'entier suivant
k≥ 2 alors 4^k × 4 ≥ 4× (4k+1) 4^(k+1) ≥ 16k +4
et 16k +4 - [4(k+1)+1] = 16k+4 - 4k -4-1 = 12k -1 comme k ≥ 2 on a 12k -1 ≥ 0 et 4^(k+1) ≥ 16k +4 ≥ 4(k+1) +1 donc la propriété est héréditaire
conclusion proposition vraie pour k =2 par hérédité elle est vraie pour l'entier supérieur elle est donc vraie pour tout nombre entier n, n>2
anylor
de rien, désolée, mais je problème c'est que je ne connais que cette méthode, et si ce n'est pas celle que tu apprends, ça risque d'être compliqué.
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démontrer par récurrence que
initialisation
pour n=2
d'une part 4^n = 4² = 4×4=16
d'autre part 4 n +1 = 2×2 +1 = 5
16 ≥ 5 vrai
donc la propriété est vraie au rang 0 c'est à dire pour n = 2
hérédité
supposons que pour un entier naturel k ≥2
4^k ≥ 4 k +1 (hypothèse de récurrence)
il faut montrer que la propriété est vraie pour l'entier suivant
k≥ 2 alors
4^k × 4 ≥ 4× (4k+1)
4^(k+1) ≥ 16k +4
et 16k +4 - [4(k+1)+1] = 16k+4 - 4k -4-1 = 12k -1
comme k ≥ 2 on a 12k -1 ≥ 0
et 4^(k+1) ≥ 16k +4 ≥ 4(k+1) +1
donc la propriété est héréditaire
conclusion
proposition vraie pour k =2
par hérédité elle est vraie pour l'entier supérieur
elle est donc vraie pour tout nombre entier n, n>2