Re bonjour

1)

Voir figure jointe.

(AM) // (CB)

Deux droites // (AM) et (CB) coupées par la sécante (AB) déterminent 2 angles alternes-internes de même mesure.

Donc :

angle MAM'=angle ABC

(MM') // (AC)

Deux droites // (MM') et (AC) coupées par la sécante (AB) déterminent 2 angles alternes-internes de même mesure.

Donc :

angle CAB=angle AM'M

Les triangles AM'M et BAC sont semblables car ils ont 2 angles de même mesure.

Donc , en mesures :

AM'/BA=AM/BC

Mais :

vect AM/vect CB=1/3

Donc :

vect AM'/vect AB=1/3

soit : vect AM'=(1/3) vect AB

2)

a)

- >IP veut dire vect IP. OK ?

-> IP= -> AM/2 mais ->AM=->2IB/3 donc :

->IP= ->(2IB/3)/2

->IP= ->IB/3

b)

On sait que :

-> AM'=(1/3) AB

et que :

-> IP = (1/3) IB

Les triangles BPM' et BIA ont un angle B commun et les côtés adjacents sont proportionnels .

Ces deux triangles sont donc semblables.

Leurs angles son donc égaux deux à deux.

angle BPM'= BIA

Les droites (PM') et (IA) coupées par la sécante (BI) déterminent 2 angles correspondants égaux.

Ces deux droites sont donc //.