Réponse :

f(x) = 5 - 16/(3 + x)   définie sur  I = [1 ; 2]

1) a) étudier le sens de variation de la fonction f  sur l'intervalle I et dresser son tableau de variation

f est la somme de deux fonctions dérivables sur I ,  donc f est dérivable sur I  et sa dérivée f ' est :

        f '(x) = 0 - ( - 16/(3 + x)² = 16/(3 + x)²     or  (3 + x)² > 0 et 16 > 0

donc  16/(3+x)² > 0    d'où  f '(x) > 0  ⇒ la fonction f est croissante sur I

Tableau de variation de la fonction f  sur  I = [1 ; 2]

     x           1                             2

variation    1 →→→→→→→→→→→→ 9/5

de f(x)              croissante

b) vérifier que pour tout réel x de I,  f(x) ∈ I

      1  ≤ x ≤ 2   ⇒ f(1) ≤ f(x) ≤ f(2)   ⇔ 1 ≤ f(x) ≤ 9/5 ≤ 2    donc  f(x) ∈ I

2) u0 = 2  et pour tout entier naturel n  ; un+1 = f(un)            

a) démontrer par récurrence que la suite (un)

. est décroissante   ⇔  un+1 ≤ un

on note  P(n) :   un+1 ≤ un

. Initialisation : vérifions que pour n = 0  ; P(0) est vraie

        un+1 = 5 - 16/(3+un)

        u1 = 5 - 16/(3+ 5) = 9/5 ≤ u0 = 2   donc  P(0) est vraie

. hérédité : soit un entier n;  supposons que P(n) est vraie et montrons que P(n+1) est vraie  donc il faut montrer que un+2 ≤ un+1

H.R  on sait par hypothèse que  un+1 ≤ un   ⇔  un+1  + 3 ≤ un  + 3

⇔ 1/(3+un+1)  ≥  1/(3 + un)   ⇔  - 16/(3+un+1) ≤ - 16/(3+un)

⇔ 5 - 16/(3 + un+1) ≤ 5 - 16/(3 + un)

⇔  un+2 ≤ un+1    donc  P(n+1) est vraie

. conclusion :  P(0) est vraie et P(n) est héréditaire au rang n

donc par récurrence  P(n) est vraie pour tout entier naturel n

.  un est minorée par 1  

on note   P(n) :  un ≥ 1

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Explications étape par étape :