Réponse:

Ex 4 :

a) Pour montrer que un+1 - Un = (1/54n) - (56 - u), on utilise la formule de récurrence de la suite (u) :

un+1 = (1/54n) - (56 - un)

On remplace un+1 dans l'expression un+1 - Un :

un+1 - Un = [(1/54n) - (56 - un)] - un

= (1/54n) - (56 - un) - un

= (1/54n) - 56 + un - un

= (1/54n) - 56

Donc, un+1 - Un = (1/54n) - 56

b) Pour montrer que la suite (u) est croissante, on doit montrer que un+1 ≥ Un pour tout n.

On a déjà montré que un+1 - Un = (1/54n) - 56. Puisque pour tout n, un < 6, on peut dire que (1/54n) - 56 > 0.

Donc, un+1 - Un > 0, ce qui signifie que un+1 > Un.

Donc, la suite (u) est croissante.

Ex 5 :

a) Pour montrer que bn+1 ≤ 2bn² + bn, on peut utiliser l'inégalité de Bernoulli qui dit que pour tout réel x ≥ -1 et tout entier n ≥ 0, (1+x)^n ≥ 1+nx.

On applique cette inégalité avec x = bn et n = 2, on obtient (1+bn)^2 ≥ 1+2bn.

Donc (1+bn)^2 ≥ 1+2bn > bn+1.

Donc bn+1 ≤ (1+bn)^2 ≤ 2bn² + bn.

b) Comme on a montré que bn+1 ≤ 2bn² + bn, on peut en déduire que la suite (bn) est croissante.