Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape :

Exo 1 :

J'espère ne pas faire ce long travail pour rien !!

1)

Vecteur AB(-2-(-4);3-1) ==>AB(2;2)

AB²=2²+2²=8

AB=√8=√(4 x 2)=2√2

CD(3-(-1);2-(-2)==>CD(4;4)

CD²=4²+4²=32

CD=√32=√(16 x 2)=4√2

2)

1ère façon :

vect AD(3+4;2-1) ==>AD(7;1)

BC(-1+2;-2-3) ==>BC(1;-5)

det(AD,BC=7(-5)-1*1=-36 ≠ 0

Les vect AD et BC ne sont pas colinéaires donc (AD) et (BC) sont sécantes.

2ème façon :

Deux vecteurs u(x ;y) et v(x’ ;y’) sont colinéaires si et seulement si :

xy’-x’y=0

Ce qui donne ici :

7(-5)-1*1=-36 ≠ 0

Les vect AD et BC ne sont pas colinéaires donc (AD) et (BC) sont sécantes.

3)

En vecteurs :

AB(2;2)

AD(3-(-4);2-1) ==>AD(7;1)

Deux vecteurs u(x ;y) et v(x’ ;y’) sont colinéaires si et seulement si :

xy’-x’y=0

Ce qui donne ici :

2*1-2*7=2-14=-12 ≠ 0

Les vect AD et AB  ne sont pas colinéaire donc les points A,B et D ne sont pas alignés.

4)

On a vu que :

AB(2;2) et CD(4;4).

Ce qui donne :

2AB(4;4) donc :

CD=2AB qui prouve que les vecteurs AB et CD sont colinéaires donc que:

(AB) // (CD).

5)

vect BC(1;-5)

(BC) a pour équation : y=ax+b avec :

a=-5/1=-5 ( obtenu à partir des coordonnées du vect BC)

(BC) ==>y=-5x+b

(BC) passe par B(-2;3) donc on peut écrire :

-5(-2)+b=3 qui donne b=3-10=-7

(BC) ==>y=-5x-7

6)

vect AD(7;1)

(AD) ==>y=ax+b avec :

a=1/7

(AD) ==>y=(1/7)x+b

Passe par D(3;2) donc on peut écrire :

(1/7)*3+b=2 qui donne : b=2-3/7=14/7-3/7=11/7

(AD) ==>y=(1/7)x+11/7

7)

On résout :

{y=-5x-7

{y=(1/7)x+11/7

Ce qui donne :

(1/7)x+11/7=-5x-7

(1/7)x+5x=-7-11/7

x/7 + 35x/7=-49/7-11/7

On supprime le déno 7 sous chaque terme :

36x=-60

x=-60/36

x=-5/3

y=-5(-5/3)-7=25/3-21/3=4/3

E(-5/3;4/3)

8)

vect EB(-2+5/3;3-4/3) ==>EB(-6/3+5/3;9/3-4/3) ===>EB(-1/3;5/3)

vect EC(-1+5/3;-2-4/3) ==>EC(-3/3+5/3;-6/3-4/3) ==> EC(2/3;-10/3)

Ce qui donne :

-(1/2)EC(-1/3;5/3) donc en vecteurs :

EB=(-1/2)EC  qui prouve que ces deux vecteurs sont colinéaires.

On peut donc passer aux mesures :

Mesure EB=(1/2) mesure EC qui donne :

EB/EC=(1/2)

Voir graphique joint .

Exo 2 :

1)

En vecteurs :

AB(1-0;2-1) ==>AB(1;1)

AC(5-0;6-1) ==>AC(5;5)

5AB(5;5)

Donc :

AC=5AB qui prouve que les vecteurs AB et AC sont colinéaires avec A en commun donc que les points A, B et C sont alignés.

2)

En vect :

DE(6-2;1-0) ==>DE(4;1)

DF(10-2;2-0) ==>DF(8;2)

4DE(8;2)

Donc :

DF=4DE

Tu conclus.

3)

Tu dois avoir compris comment on calcule les coordonnées des vecteurs. Je ne te donne que les réponses.

AE(6;0)

DB(-1;2)

AF(10;1)

DC(3;6)

BF(9;0)

EC(-1;5)

4)

Deux vecteurs u(x ;y) et v(x’ ;y’) sont colinéaires si et seulement si :

xy’-x’y=0

On applique à vect AE et DB :

6*2-0*(-1)=12+1=13 ≠ 0

Ces 2 vect ne sont pas colinéaires donc (AE) et (DB) sont sécantes.

5)

AF(10;1)

DC(3;6)

10*6-1*3=60-3=57 ≠ 0

Tu conclus.

6)

BF(9;0)

EC(-1;5)

0*(-1)-9*5=-46 ≠  0

Tu conclus.

7)

Les points A et E ont même ordonnée : y=1 donc :

(AE) ==>y=1

-----------

DB(-1;2)

(DB) ==>y=ax+b avec a=2/-1=-2

y=-2x+b et passe par D(2;0) donc :

-2*2+b=0 soit b=4

(DB) ==>y=-2x+4

---------

AF(10;1)

(AF) ==>y=ax+b avec a=1/10

Passe par A(0;1) donc b=1.

(AF) ==>y=(1/10)x+1

-----------

DC(3;6)

(DC) ==>y=ax+b avec a=6/3=2

y=2x+b , passe par D(2;0) donc :

2*2+b=0 soit b=-4

(DC) ===>y=2x-4

-----------

BF(9;0)

Les points B et F ont même ordonnée 2 donc :

(BF) ===>y=2

------------

EC(-1;5)

(EC) ==>y=ax+b avec a=5/-1=-5

y=-5x+b et passe par E(6;1) donc :

-5*6+b=1 soit b=31

(EC) ==>y=-5x+31

8)

Pour G :

{y=1

{y=-2x+4

-2x+4=1 soit x=3/2 et y=1

G(3/2;1)

Pour H :

{y=(1/10)x+1

{y=2x-4

2x-4=(1/10)x+1

20x/10-x/10=4+1

19x/10=5

x=50/19 et y=2(50/19)-4=(100-4*19)/19=24/19

H(50/19;24/19)

Pour I :

{y=2

{y=-5x+31

-5x+31=2

x=29/5

I(29/5;2)

9)

Là, c'est un truc de "fou"!!

Je te laisse finir et calculer les  coordonnées des vecteurs GH et GI puis appliquer :

Deux vecteurs u(x ;y) et v(x’ ;y’) sont colinéaires si et seulement si :

xy’-x’y=0

J'ai passé un temps fou à faire dix fois le même type de calculs . Franchement pas drôle ce DM.