Bonjour,je n'arrive pas le 2) de mon dm pouvez-vous maide svp :(.... Pergunta de ideia deMax67

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Bonjour,
je n'arrive pas le 2) de mon dm pouvez-vous maide svp :(

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scoladan

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Bonjour,

2)a) U0 = 2 donc propriété vérifiée au rang 0

Supposons qu'au rang n, Un ∈ [√2;2]

Au rang n+1 : Un+1 = f(Un)

D'après l'hypothèse de récurrence, Un ∈ [√2;2]

et on a montré au 1)b) que : x ∈ [√2;2] ⇒ f(x) ∈ [√2;2]

Donc Un+1 = f(Un) ∈ [√2;2]

Propriété héréditaire.

b) Pour tout n ∈ N, Un+1 - Un = f(Un) - Un = 1/2(Un + 2/Un) - Un = -Un/2 + 1/Un

= (2 - Un²)/Un

Or √2 ≤ Un ≤ 2, ⇒ 2 ≤ Un² ≤ 4 ⇒ 0 ≥ 2 - Un² ≥ -2

donc Un+1 - Un ≤ 0

⇒ (Un) décroissante

c) (Un est décroissante et bornée ⇒ (Un) est convergente

Soit l la limite de (Un). Quand n→+∞ :

lim Un = lim Un+1

⇒ l = lim f(Un)

⇔ l = lim 1/2(l + 2/l)

⇔ l = l/2 + 1/l

⇔ 2l² = l² + 2

⇔ l² = 2

⇒ l = √2

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