bjr

1)

(a cosα - b sinα )² =

               a² cos²α  - 2ab cosα  sinα  + b² sin²α (1)

(b cosα + a sinα)² =

                b² cos²α  + 2ab cosα  sinα + a² sin²α (2)

on additionne (1) et (2)

 a² cos²α  - 2ab cosα  sinα  + b² sin²α +  b² cos²α  + 2ab cosα  sinα + a² sin²α

= a² cos²α + b² sin²α +  b² cos²α + a² sin²α

= a² cos²α + a² sin²α+ b² sin²α +  b² cos²α

= a²(cos²α + sin²α) + b²( sin²α + cos²α)        ( or  sin²α + cos²α = 1)

= a² + b²

2)

(1 + cotgα)² x tg²α = [(1 + cotgα) x tgα]²

                             = (tgα + cotgα tgα)²

                             = (tgα + 1)²

                             = [(sinα/cosα) + 1]²

                             = [(sin²α/cos²α) + (2sinα/cosα) + 1]

                             = (sin²α + 2sinα cosα + cos²α) / cos²α

                             = (1 + 2sinα cosα)/ cos²α