fonction f définie sur R   ;     f(x) = 3(x + 1)² - 12

1) Coordonnées du sommet S

la fonction polynôme  f(x) est donnée sous la forme canonique :

f(x) = a(x - α)² + β.  Les réels α et β sont les coordonnées du sommet de la parabole Cf qui représente cette fonction.

ici α = -1 et  β = 12

coordonnées du sommets : S(-1 ; 12)

2) équation de l'axe de symétrie

l'axe de symétrie de la courbe Cf est la parallèle à l'axe des ordonnées qui passe par le sommet S de la parabole.

Ce sommet a pour abscisse -1, la parallèle à Oy passant par S a pour équation : y = -1

3) calculer f(1)

f(1) = 3(1 + 1)² -12 = 3 * 4 - 12 = 0

c'est l'un des points où la parabole coupe l'axe des abscisses.

L'autre point d'intersection avec cet axe est son symétrique par rapport à l'axe de la parabole (c-à-d par rapport au point de Ox d'abscisse -1)

soit M(1;0) ; I(-1;0) et M'(x';0) le symétrique de M par rapport à I

(x + x')/2 = -1

(1 + x')/2 = -1

1 + x' = -2

x' = -3

M'(0;-3)

réponse : -3

5)

f(x) s'annule pour x = 1 et x = -3

f(x) est de la forme a(x - 1)(x + 3)

pour déterminer a on peut remarquer que dans l'énoncé le coefficient de x² est 3  (d'où a = 3)

ou bien on peut calculer une valeur

f(x) = 3(x + 1)² - 12

f(0) = 3 - 12 = -9

dans a(x - 1)(x + 3) on remplace  x par 0 (on doit trouver -9)

a(0 - 1)(0 + 3) = -9

-3a = -9

a = 3

réponse f(x) = 3(x - 1)(x + 3)

[il est possible de factoriser l'expression initiale de f(x) mais la question est "en déduire" c'est-à-dire déduire des questions précédentes)