1) démontrer que le point B appartient au cercle C de diamètre (AD)

soit O le centre du cercle milieu de (AD) de cordonnées : ((9+2)/2 ; (4 +3)/2) 

O(11/2 ; 7/2)

On cherche l'équation du cercle de centre O et de rayon r qui s'écrit sous la forme suivante : (x - a)² + (y - b)² = r²

r = AD/2

AD = √(9 - 2)² + (4 - 3)² = √50 = 5√2

AD/2 = r = 5√2/2 ⇒ r² = 25 x 2/4 = 25/2

donc l'équation du cercle est : (x - 11/2)² + (y - 7/2)² = 25/2

(3 - 11/2)² + (1 - 7/2)² = 25/2

(6/2 - 11/2)² + (2/2 - 7/2)² = 25/2

(- 5/2)² + (- 5/2)² = 25/2

   25/4 + 25/4 = 25/2

  2 x 25/4 = 25/2

donc B ∈ (C)

OB = r ⇒ B ∈ (C)

2) déterminer les cordonnées du point E diamétralement opposé à B sur ce cercle

on a donc OE = - OB

(x - 11/2 ; y - 7/2) = - (3 - 11/2 ; 1 - 7/2)

 (x - 11/2 ; y - 7/2) = - (6/2 - 11/2 ; 2/2 - 7/2) 

(x - 11/2 ; y - 7/2) = - ( - 5/2 ;  - 5/2)

x - 11/2 = 5/2 ⇒ x = 5/2 + 11/2 = 16/2 = 8

y - 7/2 = 5/2 ⇒ x = 5/2 + 7/2 = 12/2 = 6

donc les cordonnées du point  E(8 ; 6)

E) quelle est la nature du quadrilatère ABDE

On a les diagonales sont des diamètres donc elles sont égales de plus elles se coupent au même milieu O qui est le centre du cercle donc ABDE est un rectangle.

4) déterminer les cordonnées du point F image de B par la translation du vecteur AD

BF = AD 

BF(x - 3 ; y - 1) = (9 - 2 ; 4 - 3) = (7 ; 1)

x - 3 = 7 ⇒ x = 10

y - 1 = 1⇒ x = 2

les cordonnées du point F(10 ; 2)

5) démontrer que D est le milieu de EF

cherchons les cordonnées du milieu de EF  (10 + 8/2  ; 2 + 6/2)

(18/2 ; 8/2) = (9 ; 4)

donc D est le milieu de EF