Considérons les triangles DCM et MAB. Les droites (DB) et (AC) sont sécantes en M. les points C, M, A d’une part et D, M, B d’autre part sont alignés dans le même ordre et les droites (AB) et (DC) sont parallèles (car vecteur DB = 18/3 x vecteur AB). Donc d’après le théorème de Thalès, les longueurs des côtés associés de ces 2 triangles sont proportionnelles. On peut écrire MC/MA=MD/MB=DC/AB = 1/3 ==> MD=MB/3 ==>DB=MD+MB=MB/3+MB=4MB/3 ou MB=3DB/4
Soit M’ le point d’intersection des droites(DB) et (KI). Considérons les triangles DM’K et BM’I. Les droites (DB) et (KI) sont sécantes en M’. les points K, M’, I d’une part et D, M, B d’autre part sont alignés dans le même ordre et les droites (IB) et (DK) sont parallèles. Donc d’après le théorème de Thalès, les longueurs des côtés associés de ces 2 triangles sont proportionnelles. On peut écrire M’K/M’I=M’D/M’B=DK/IB . Or DK = DC/2 et IB = AB/2 donc DK/IB = DC/AB = 1/3 donc M’D =M’B/3 ==> DB=M’D+M’B=M’B/3+M’B= 4M’B/3 ou M’B=3DB/4. Donc M’B=MB. Comme M et M’ appartiennent à (DB) M’ est confondu avec M. Donc les points M, K et I sont alignés.
Soit K’ le point d’intersection de la droite (NI) avec (DC).
Considérons les triangles DK’N et AIN. Les droites (NI) et (AN) sont sécantes en N. les points N, K’, I d’une part et N, D, A d’autre part sont alignés dans le même ordre et les droites (AI) et (DK’) sont parallèles. Donc d’après le théorème de Thalès, les longueurs des côtés associés de ces 2 triangles sont proportionnelles. On peut écrire NK’/NI=ND/NA=DK’/AI ==> DK’=(NK’xAI)/NI
Considérons les triangles CK’N et BIN. Les droites (NI) et (BN) sont sécantes en N. les points N, K’, I d’une part et N, C, B d’autre part sont alignés dans le même ordre et les droites (BI) et (CK’) sont parallèles. Donc d’après le théorème de Thalès, les longueurs des côtés associés de ces 2 triangles sont proportionnelles. On peut écrire NK’/NI=NC/NB=CK’/BI ==> CK’=(NK’xBI)/NI. Or AI = BI donc CK’=DK’ et K’ est le milieu de DC. Il est donc confondu avec le point K donc les points N, K et I sont alignés.
Donc les 4 points I, M, K et N sont alignés.
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Chelseamsl94
Bonjour merci cela est trop compliqué pour un devoir de seconde
jacquesmaignan
Il n'y a rien de très compliqué. les notions utilisées (Thalès) sont des notions étudiées en 3ème !
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Considérons les triangles DCM et MAB. Les droites (DB) et (AC) sont sécantes en M. les points C, M, A d’une part et D, M, B d’autre part sont alignés dans le même ordre et les droites (AB) et (DC) sont parallèles (car vecteur DB = 18/3 x vecteur AB). Donc d’après le théorème de Thalès, les longueurs des côtés associés de ces 2 triangles sont proportionnelles. On peut écrire
MC/MA=MD/MB=DC/AB = 1/3 ==> MD=MB/3 ==>DB=MD+MB=MB/3+MB=4MB/3 ou MB=3DB/4
Soit M’ le point d’intersection des droites(DB) et (KI). Considérons les triangles DM’K et BM’I. Les droites (DB) et (KI) sont sécantes en M’. les points K, M’, I d’une part et D, M, B d’autre part sont alignés dans le même ordre et les droites (IB) et (DK) sont parallèles. Donc d’après le théorème de Thalès, les longueurs des côtés associés de ces 2 triangles sont proportionnelles. On peut écrire
M’K/M’I=M’D/M’B=DK/IB . Or DK = DC/2 et IB = AB/2 donc DK/IB = DC/AB = 1/3
donc M’D =M’B/3 ==> DB=M’D+M’B=M’B/3+M’B= 4M’B/3 ou M’B=3DB/4. Donc M’B=MB. Comme M et M’ appartiennent à (DB) M’ est confondu avec M. Donc les points M, K et I sont alignés.
Soit K’ le point d’intersection de la droite (NI) avec (DC).
Considérons les triangles DK’N et AIN. Les droites (NI) et (AN) sont sécantes en N. les points N, K’, I d’une part et N, D, A d’autre part sont alignés dans le même ordre et les droites (AI) et (DK’) sont parallèles. Donc d’après le théorème de Thalès, les longueurs des côtés associés de ces 2 triangles sont proportionnelles. On peut écrire
NK’/NI=ND/NA=DK’/AI ==> DK’=(NK’xAI)/NI
Considérons les triangles CK’N et BIN. Les droites (NI) et (BN) sont sécantes en N. les points N, K’, I d’une part et N, C, B d’autre part sont alignés dans le même ordre et les droites (BI) et (CK’) sont parallèles. Donc d’après le théorème de Thalès, les longueurs des côtés associés de ces 2 triangles sont proportionnelles. On peut écrire
NK’/NI=NC/NB=CK’/BI ==> CK’=(NK’xBI)/NI. Or AI = BI donc CK’=DK’ et K’ est le milieu de DC. Il est donc confondu avec le point K donc les points N, K et I sont alignés.
Donc les 4 points I, M, K et N sont alignés.