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Bonjour,

Ex 108

f(x) = 1 + xln(x)

M(1 ; f(1)) soit M(1 ; 1)

N(2 ; f(2)) soit N(2 ; 1 + 2ln2)

P(1 ; 0) et Q(2 ; 0)

1)a) f'(x) = ln(x) + x.1/x = ln(x) + 1

Sur [1 ; 2], ln(x) ≥ 0

⇒ ln(x) + 1 ≥ 1

⇒ f'(x) > 0

⇒ f croissante sur [1 ; 2]

f(1) = 1 > 0 et f croissante ⇒ f positive sur [1 ; 2]

b) coefficient directeur de (MN) :

(yN - yM)/(xN - xM) = (1 + 2ln2 - 1)/(2 - 1) = 2ln2

c) E(4/e ; f(4/e))

Equations des tangentes Tₐ à C aux points d'abscisses a ∈ [1 ; 2] :

y = f'(a)(x - a) + f(a)

⇔ y = [ln(a) + 1](x - a) + 1 + aln(a)

⇔ y = xln(a) + x - aln(a) - a + 1 + aln(a)

⇔ y = [ln(a) + 1]x - a + 1

On veut Tₓ // (MN) :

⇒ ln(a) + 1 = 2ln2

⇔ ln(a) = 2ln2 - 1

⇔ ln(a) = ln(2²) - ln(e)

⇔ ln(a) = ln(4/e)

⇒ a = 4/e

⇒ E d'abscisse 4/e est l'unique point de C en lequel la tangente à C est parallèle à (MN).

d) T : y = [ln(4/e) + 1]x - 4/e + 1

⇔ T : y = [ln(2²) - ln(e) + 1]x - 4/e + 1

⇔ T : y = (2ln2)x - 4/e + 1

2) a) g(x) = f(x) - [(2ln2)x - 4/e + 1]

⇒ g'(x) = f'(x) - 2ln2

⇔ g'(x) = ln(x) + 1 - ln(2²)

⇔ g'(x) = 1 + ln(x/4)

b) g'(x) = 0

⇔ ln(x/4) = -1

⇔ x/4 = e⁻¹

⇔ x = 4/e  (≈ 1,47 donc appartient bien à [1 ; 2])

x        1                 4/e              2

g'(x)              -        0         +

g(x)       décroiss.      croissante

g(4/e) = 0 (car au point E, C et T sont concourantes)

On en déduit : Sur [1 ; 2], g(x) ≥ 0

Soit : f(x) - y ≥ 0

Et donc C au-dessus de T sur [1 ; 2] (à l'exception du point E évidemment)

3) a)

M' et N' appartiennent à T

⇒ yM' = (2ln2)xM' - 4/e + 1 = 2ln2 - 4/e + 1

et yN' = (2ln2)xN' - 4/e + 1 = 4ln2 - 4/e + 1

Aire(MNQP) = (MP + NQ)xPQ/2

= (1 + 1 + ln2)x1/2

= 1 + ln(2)/2  ≈ 1,346 u.a.

Aire(M'N'QP) = (M'P + N'Q)xPQ/2

= [(2ln2 - 4/e + 1) + (4ln2 - 4/e + 1)]x1/2

= 3ln2 - 4/e + 1 ≈ 1,608 u.a.

b) on en déduit : 1,3 < A < 1,6 à 0,1 u.a près