Réponse :

1) à l'aide du graphique , déterminer les coefficients a, b et c tels qur

f(x) = a x² + b x + c

soit le sommet  S de la parabole de coordonnées S(3 ; 7)

on peut donc écrire f(x) sous la forme canonique suivante:

f(x) = a(x - 3)²+ 7

     = a(x² - 6 x + 9) + 7

     = a x² - 6a x + 9 a + 7

sachant que f(0) = - 11  ⇒ c = - 11

⇒ b = - 6 a ⇒ b = - 6(-2) = 12

    c = 9 a + 7 ⇒ - 11 = 9 a + 7 ⇒ 9 a = - 11 - 7 = - 18 ⇒ a = - 18/9 = - 2

Les coefficients a = - 2 ; b = 12 et c = - 11  donc f(x) = - 2 x² + 12 x - 11

2) on donne f(x) = - 2 x² + 12 x - 11

a) résoudre f(x) = - 1   Interpréter graphiquement le résultat obtenu

f(x) = - 1 = - 2 x² + 12 x - 11  ⇔ - 2 x² + 12 x - 10 = 0 ⇔ 2(- x² + 6 x - 5) = 0

⇔ (- x + 5)(x - 1) = 0 ⇒ x = 5 ; x = 1

Les points d'abscisses x = 1 ; x = 5 correspondent aux points d'intersection de la droite y = - 1 et la courbe  C de f

b) résoudre f(x) ≤ 5

- 2 x² + 12 x - 11 ≤ 5 ⇔  - 2 x² + 12 x - 16 ≤ 0 ⇔ 2( - x² + 6 x - 8) ≤ 0

⇔ -  x² + 6 x - 8 ≤ 0  ⇔ (- x + 4)(x - 2) ≤ 0

x            - ∞                          2                            4                        + ∞

- x + 4                     +                             +           0              -

x - 2                        -             0               +                           +

f(x)                          -              0               +           0              -

l'ensemble des solutions de l'inéquation  f(x) ≤ 5  est :  

S = ]- ∞ ; 2] et [4 ; + ∞[

graphiquement ; on trace la droite y = 5 et les solutions de l'inéquation f(x) ≤ 5 correspondent à la courbe de f située en dessous de la droite  

ex2

f(x) = x² - x - 1   définie sur R

1)  calculer  [f(2+h) - f(2)]/h  où  h ≠ 0

f(2+h) = (2+h)² - (2+h) - 1

         = 4 + 4 h + h² - 2 - h - 1

         = h² + 3 h + 1

f(2)= 4 - 2 - 1 = 1

[f(2+h) - f(2)]/h = (h² + 3 h + 1 - 1)/h = (h²+3 h)/h = h(h + 3)/h = h + 3

2) en déduire  f ' (2)

f '(2) = lim (f(2+h) - f(2))/h = lim(h+3) = 3  

          h→0                           h→0

Donc f '(2) = 3

Explications étape par étape