1)

a)  aire ABC : demi-produit des côtés de l'angle droit

    (AB x BC)/2 = (8 x 6)/2 =24 cm²

b) l'aire d'un triangle est aussi égale à (côté x hauteur)/2

                                                           soit (AC x BH)/2

on sait que cette aire est 24

(AC x BH)/2 = 24     on connaît AC on peut calculer BH

10 x BH = 48

BH = 4,8 (cm)

2)

a) quadrilatère ABCD

O est le milieu de [AC]  (hypothèse)

O est aussi le milieu de [BD] puisque

        D est le symétrique de B par rapport à O

les diagonales AC et BD du quadrilatère ABCD ont même milieu O

=> ce quadrilatère est un parallélogramme

ce parallélogramme a on angle droit ABC

=> c'est un rectangle

b) Nature triangle BEC

E est le symétrique de B par rapport à (AC)

la droite AC est la médiatrice du segment [BE]

Le point C de cette médiatrice est équidistant de B et de E : CB = CE

Le triangle BCE est isocèle, de sommet E

c) en déduira que AD = EC

on vient de voir que CB = CE

puisque ABCD est rectangle AD = BC

on en déduit que AD = CE

d)

O est le milieu de BD et H est le milieu de BH (symétries)

Dans le triangle BDE la droite OH qui passe par les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté, donc à (DC)

OH // DE

dans le quadrilatère ADEC on sait que

(OH) // (DE) et que AD = EC

c'est la définition d'un trapèze isocèle

Réponse :

1) a) calculer, en cm² l'aire du triangle ABC

            A = 1/2(AB x BC) = 1/2(8 x 6) = 24 cm²

   b) en déduire que BH = 4.8 cm

            A = 1/2(BH x AC) = 24 ⇒ BH x AC = 48 ⇒ BH = 48/AC = 48/10 =

                                                                                          = 4.8 cm

  2) a) donner la nature du quadrilatère ABCD                                                                                      

  ABCD est un rectangle  car les diagonales (AC) et (BD) se coupent au même milieu et sont de même mesure

de plus l'angle ^B est de 90°

 b) donner la nature du triangle BCE

      BCE est un triangle isocèle en C

on a BH = HE ; le triangle BHC est rectangle en H

le triangle CHE rectangle en H

ces deux triangles ont en commun CH ⇒ donc forcément CE = BC

c) en déduire AD = EC

puisque AD = BC  et  BC = EC ⇒ AD = EC

d) démontrer que les droites (DE) et (OH) sont parallèles

(OH) ⊥ ((EH) et (DE) ⊥(EH) ⇒ (OH) // (DE)

e) démontrer que ADEC est un trapèze isocèle

(DE) // (AC) et AD = EC  et  DE < AC ⇒ ADEC est un trapèze isocèle

Explications étape par étape