Bonsoir, (19pts)
On souhaite trouver les valeurs de n
5 tel que la fraction
soit entière.
a) Montrer qu'alors PGCD( n-4 ; n+11 ) = n-4
b) À l'aide d'une combinaison linéaire indépendante de n, préciser les valeurs possibles de PGCD (n-4 ; n+11)
c) Conclure
Merci
On souhaite trouver les valeurs de n
a) Montrer qu'alors PGCD( n-4 ; n+11 ) = n-4
b) À l'aide d'une combinaison linéaire indépendante de n, préciser les valeurs possibles de PGCD (n-4 ; n+11)
c) Conclure
Merci
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a) (n+11)/(n-4)=k avec k entierdonc n+11=k(n-4)
or n-4=1(n-4)
donc PGCD( n-4 ; n+11 ) = n-4
b) PGCD (n-4 ; n+11)=n-4
d'après le th de Bezout, il existe 2 entiers α et β tels que
α(n-4)-β(n+11)=n-4
donc (α-1)(n-4)=β(n+11)
les valeurs possibles du PGCD sont :1;3;5;... entiers impairs
c) la fraction (n+11)/(n-4) est entière si
n=1;3;5;7;9;...