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Bonjour,

a) ci-joint

b) f(-2) = -(-2)²/4 - (-2) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4

⇒ S(-2;4) ∈ Cf   (S est le sommet de Cf)

c) (Tm) : y = mx + p

S ∈ (Tm) ⇒ 4 = -2m + p ⇔ m = (p - 4)/2

soit (Tm) : y = (p - 4)x/2 + p

(Tm) ∩ (Cf) = S ⇒ (Tm) est tangente à Cf eu point S.  (voir une méthode générale au d))

Et S étant le sommet de Cf, (Tm) est horizontale

⇒ m = 0

On a alors : (Tm) : y = p

et m = 0 ⇔ (p - 4)/2 = 0 ⇔ p = 4

donc (Tm) : y = 4

Position de (Tm) par rapport à Cf :

f(x) - 4 = -x²^/4 - x + 3 - 4

= -x²/4 - x - 1

Signe de -x²/4 - x - 1 : Δ = (-1)² - 4 x (-1/4) x (-1) = 1 - 1 = 0

⇒ une racine unique : x = 1/(-2/4) = -2     (abscisse de S)

Donc Cf est au-dessus de (Tm)

(Tm) est la tangente à Cf au point S

d) R(2;0)

b) f(2) = -2²/4 - 2 + 3 = -1 - 2 + 3 = 0 ⇒ R ∈ Cf

c) R ∈ (Tm) ⇒ 0 = 2m + p

⇒ m = -p/2  ⇒ (Tm) : y = -px/2 + p

(Tm) ∩ (Cf) = R ⇒ f(x) = y

⇔ -x²/4 - x + 3 = -px/2 + p  ,pour tout x ∈ R

⇔ -x²/4 + (p/2 - 1)x + 3 - p = 0

⇔ x² - 4(p/2 - 1)x - 4(3 - p) = 0

⇔ x² + (4 - 2p)x + (4p - 12) = 0

on veut que cette équation n'ait qu'une seule solution ⇒ Δ = 0

Δ = (4 - 2p)² - 4(4p - 12)

= 16 - 16p + 4p² - 16p + 48

= 4p² - 32p + 64

Δ = 0 ⇒ p² - 8p + 16 = 0

Δp = 64 - 4x16 = 0

donc une seule solution : p = 8/2 = 4

On a alors : (Tm) : y = -px/2 + p = -2x + 4

voir la 2nde figure