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Dans un repère on donne les points A(p;0) et B(0;q) où p et q sont des nombres réels avec (p;q) différent de (0;0)
Démontrez que le point C(1;1) appartient à la droite (AB) si et seulement si p + q = pq
Dans un repère on donne les points A(p;0) et B(0;q) où p et q sont des nombres réels avec (p;q) différent de (0;0)
Démontrez que le point C(1;1) appartient à la droite (AB) si et seulement si p + q = pq
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VectAB = (0-p;q-0)=(-p;q)vectAC = (1-p;1-0)=(1-p;1)
C appartient à (AB) si et seulement si AB et AC sont colinéaires, autrement dit si et seulement si il existe un réel k tel que :
vectAB = k*vectAC
De cette relation on obtient un système de deux équations avec les coordonées :
-p=k(1-p)
q=k
on remplace k par q dans la première équation ce qui donne :
-p=q(1-p)
ou encore -p=q -pq
ie p+q =pq CQFD
et toute la démonstration s'est faite avec des "si et seulement si", donc les deux sens de l'équivalence ont bien été démontrés
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BonjourSoit AB le vecteur (-p;q)
La droite AB a donc pour equation cartésienne:
py+qx+c=0
En remplacant x et y par les coordonnées de A on a:
p*0+q*p+c=0 donc qp=-c
En remplacant x et y par les coordonnées de B on a :
p*q+q*0+c=0 donc qp=-c.
Soit le point C(1:1)
Si il appartient a AB alors
p*1+q*1+c=0 soit p+q=-c
Donc effectivement, le point C appartient a AB ssi p+q=p*q