Réponse :

Explications étape par étape

A(4;3)  B(0;-1)  C(4 ; -5)

Equation générale du cercle :

x² + y² + Dx + Ey + F = 0

A(4;3)       4² + 3² + 4D + 3E + F = 0

         ⇔   4D + 3E + F = -4² - 3²

         ⇔   4D + 3E + F = - 16 - 9

         ⇔  4D + 3E + F = - 25

B(0;-1)      0² + (-1)² + 0.D - 1E + F = 0

         ⇔   1 - E + F = 0

         ⇔ -E + F = -1

C(4;-5)      4² + (-5)² + 4D - 5E + F = 0

         ⇔   4² + 5² + 4D - 5E + F = 0

         ⇔    4D - 5E + F = -4² - 5²

         ⇔    4D - 5E + F = - 16 - 25

         ⇔     4D - 5E + F = - 41

Système à 3 inconnues:

4D + 3E + F = - 25          (1)

          -E + F = -1              (2)

4D - 5E + F = - 41            (3)

4D + 3E + F = - 25          (1)

- 4D + 5E - F =  41            (3)  * (-1)

-------------------------------

           8E = 16

     ⇔ E = 2

Remplaçons E par sa valeur dans (2)

-E + F = -1              (2)

⇔ F = E - 1

⇔ F = 2 - 1

⇔ F = 1

Prenons l'équation (1)

Remplaçons E et F par leur valeur:

     4D + 3E + F = - 25          (1)

⇔  4 *D = - 3 E - F - 25

⇔ 4D = -3 * 2 - 1 - 25

⇔ 4D = -6 - 1 - 25

⇔ 4D = -32

⇔ D = -8

Reprenons l'équation générale : x² + y² + Dx + Ey + F =0

      x² +y² - 8x + 2y + 1 = 0

⇔   x² + y² - 8x + 2y = -1

⇔   (x² - 8x) + (y²  + 2y) = -1

⇔   (x² - 8x + 16) + (y² + 2y + 1 ) = -1 + 16 + 1      

⇔   ( x - 4 )² + ( y + 1 )² = 16

Le centre du cercle a pour coordonnées:  P( 4; -1 )

Le rayon est: √16 = 4 cm

En espérant vous avoir aidé