Réponse :

Explications étape par étape

1) f(x)  est une fonction quotient les restrictions pour le domaine de définition (Df) sont celles qui annulent le diviseur soient les solutions de 2x²+x+1=0  (delta=-7) donc pas de solution et ce diviseur est toujours >0   Df=R

2a) Dérivée f(x) est de la forme u/v sa dérivée est donc

f'(x)=(u'v-v'u)/v² avec

u=3x²-2x-2     u'=6x-2

v=2x²+x+1    v'=4x+1

tu remplaces dans la formule développes et réduis le numérateur pour arriver à f'(x)=(7x²+14x)/(2x²+x+1)²

2b) pour dresser le tableau de variation de f(x) il nous faut le signe de la dérivée f'(x)

(2x²+x+1)² est toujoutrs >0 donc le signe de f'(x) dépend  uniquement du signe de 7x²+14x

7x²+14x=7x(x+2)

f'(x)=0 si x=0 ou x=-2

tableau de variation de f(x)

x        -oo                          -2                        0                     +oo

f'(x)..............+....................0........-...............0...........+............

f(x)3/2.......croi..............f(-2)......déc..........f(0)......croi.......3/2

f(-2)=2               et f(0)=-2

3) cette question découle du tableau on voit que f(x) est minimale pour x=0   f(0)=-2   et maximale pour x=-2  f(-2)=2