Bonsoir , il me reste un exercice pour mon dm de math que je dois rendre pour demain :
Exercice :
Un placard à la forme d’un parallélépipède rectangle. Pour des raisons pratiques, si sa largeur et x, sa profondeur et 12 - x et la hauteur est égal à la profondeur. On suppose x appartient [0;12] (les dimensions sont exprimées en dm).
1. Déterminer le volume V(x) en dm^3 de ce placard
2. Calculer V’(x) pour tout x appartient [0;12].
3.Vérifie que 4 et 12 sont racine du polynôme 3x^2-48x+144. En déduire une factorisation de V’(x) puis le signe de V’(x).
4. Déterminer les variations de la fonction V
5. Quelle dimension doit-t-on choisir pour le placard à fin d’obtenir un volume maximal ?
Merci d’avance pour vos réponses
Exercice :
Un placard à la forme d’un parallélépipède rectangle. Pour des raisons pratiques, si sa largeur et x, sa profondeur et 12 - x et la hauteur est égal à la profondeur. On suppose x appartient [0;12] (les dimensions sont exprimées en dm).
1. Déterminer le volume V(x) en dm^3 de ce placard
2. Calculer V’(x) pour tout x appartient [0;12].
3.Vérifie que 4 et 12 sont racine du polynôme 3x^2-48x+144. En déduire une factorisation de V’(x) puis le signe de V’(x).
4. Déterminer les variations de la fonction V
5. Quelle dimension doit-t-on choisir pour le placard à fin d’obtenir un volume maximal ?
Merci d’avance pour vos réponses
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bjr
1) x ⋲ [0 ; 12]
les trois dimensions du placard sont : x ; 12 -x ; 12-x (en dm)
son volume est :
V(x) = x(12 - x)(12 - x) = x(12 - x)² (en dm³)
V(x) = x ( 144 - 24x + x²)
V(x) = x³ - 24x² + 144x
2)
V'(x) = 3x² - 2*24x + 144
= 3x² - 48x + 144
3)
on calcule V'(4) et V'(12)
V'(4) = 3*16 -48*4 + 144 = 0
V'(12) = 3*144 - 48*12 + 144 = 0
4 et 12 sont racines du trinôme 3x² - 48x + 144
propriété :
si un trinôme ax² + bx + c a deux racines x1 et x2
il admet comme factorisation a(x - x1)(x - x2)
d'où
3x² - 48x + 144 = 3(x - 4)(x - 12)
x 0 4 12
x - 4 - 0 +
x - 12 - - 0
V'(x) + 0 - 0
V(x) 0 / 256 ∖ 0
le volume est maximum quand x vaut 4
les dimensions du placard sont alors 4 ; 8 ; 8 (dm)
et l'aire 256 dm³