Réponse :
1) Donner la valeur de U0 et calculer U1
U0 = 2500
U1 = 2500 - 2500 x 0.1 = 2500(1 - 0.1) = 0.9 x 2500 = 2250 + 100
2) Montrer que pour tout n, Un+1 = 0.9Un + 100
U2 = 0.9 x 2250 = 2025 + 100
U3 = 0.9 x 2025 = 1822.5 + 100
......
Un+1 = 0.9 Un + 100
3) a) Montrer par récurrence que pour tout n; Un ≥ 1000
Initialisation : vérifions que P(0) est vraie
U0 = 2500 ≥ 1000 est vraie donc P(0) est vraie
hérédité : supposons que P(n) est vraie pour tout entier naturel n; c'est à dire Un ≥ 1000 et montrons que P(n+1) est vraie c'est à dire
Un+1 ≥ 1000
on a; par hypothèse Un ≥ 1000 , 0.9Un ≥ 0.9 x 1000 donc 0.9Un + 100 ≥ 0.9 x 1000 + 100 donc 0.9Un + 100 ≥ 900 + 100 = 1000
d'où Un+1 ≥ 1000 donc P(n+1) est vraie pour tout n
Conclusion: P(0) est vraie et P(n) est héréditaire
donc P(n) est vraie pour tout entier naturel n
b) étudier la monotonie de la suite (Un)
Un+1 - Un = 0.9Un + 100 - Un = - 0.1 Un + 100 or Un ≥ 1000
donc - 0.1Un + 100 ≤ 0 d'où Un+1 - Un ≤ 0 donc la suite (Un) est décroissante sur N
c) en déduire que la suite (Un) est convergente
(Un) est décroissante et Un ≥ 1000 donc (Un) est minorée
donc la suite (Un) est convergente
4) soit (Vn) définie pour tout n par Vn = Un - 1000
a) Montrer que (Vn) est une suite géométrique
Vn+1 = Un+1 - 1000 = 0.9Un + 100 - 1000 = 0.9Un - 900
Vn+1/Vn = (0.9Un - 900)/(Un - 1000) = 0.9(Un - 1000)/(Un - 1000)
donc Vn+1/Vn = 0.9 donc la suite (Vn) est une suite géométrique de raison q = 0.9 et de premier terme V0 = 2500 - 1000 = 1500
donc Vn = 1500 x (0.9)ⁿ
b) en déduire l'expression de (Un) en fonction de n
Vn = Un - 1000 donc Un = Vn + 1000
Un =1500 x (0.9)ⁿ + 1000
c) déterminer la limite de la suite (Un) et interpréter ce résultat dans le contexte
lim Un = lim (1500 x (0.9)ⁿ + 1000) = 1000
n→ + ∞
car lim (0.9)ⁿ = 0
n→+∞
A long terme la forêt ne comportera que 1000 arbres
Explications étape par étape
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Réponse :
1) Donner la valeur de U0 et calculer U1
U0 = 2500
U1 = 2500 - 2500 x 0.1 = 2500(1 - 0.1) = 0.9 x 2500 = 2250 + 100
2) Montrer que pour tout n, Un+1 = 0.9Un + 100
U2 = 0.9 x 2250 = 2025 + 100
U3 = 0.9 x 2025 = 1822.5 + 100
......
Un+1 = 0.9 Un + 100
3) a) Montrer par récurrence que pour tout n; Un ≥ 1000
Initialisation : vérifions que P(0) est vraie
U0 = 2500 ≥ 1000 est vraie donc P(0) est vraie
hérédité : supposons que P(n) est vraie pour tout entier naturel n; c'est à dire Un ≥ 1000 et montrons que P(n+1) est vraie c'est à dire
Un+1 ≥ 1000
on a; par hypothèse Un ≥ 1000 , 0.9Un ≥ 0.9 x 1000 donc 0.9Un + 100 ≥ 0.9 x 1000 + 100 donc 0.9Un + 100 ≥ 900 + 100 = 1000
d'où Un+1 ≥ 1000 donc P(n+1) est vraie pour tout n
Conclusion: P(0) est vraie et P(n) est héréditaire
donc P(n) est vraie pour tout entier naturel n
b) étudier la monotonie de la suite (Un)
Un+1 - Un = 0.9Un + 100 - Un = - 0.1 Un + 100 or Un ≥ 1000
donc - 0.1Un + 100 ≤ 0 d'où Un+1 - Un ≤ 0 donc la suite (Un) est décroissante sur N
c) en déduire que la suite (Un) est convergente
(Un) est décroissante et Un ≥ 1000 donc (Un) est minorée
donc la suite (Un) est convergente
4) soit (Vn) définie pour tout n par Vn = Un - 1000
a) Montrer que (Vn) est une suite géométrique
Vn+1 = Un+1 - 1000 = 0.9Un + 100 - 1000 = 0.9Un - 900
Vn+1/Vn = (0.9Un - 900)/(Un - 1000) = 0.9(Un - 1000)/(Un - 1000)
donc Vn+1/Vn = 0.9 donc la suite (Vn) est une suite géométrique de raison q = 0.9 et de premier terme V0 = 2500 - 1000 = 1500
donc Vn = 1500 x (0.9)ⁿ
b) en déduire l'expression de (Un) en fonction de n
Vn = Un - 1000 donc Un = Vn + 1000
Un =1500 x (0.9)ⁿ + 1000
c) déterminer la limite de la suite (Un) et interpréter ce résultat dans le contexte
lim Un = lim (1500 x (0.9)ⁿ + 1000) = 1000
n→ + ∞
car lim (0.9)ⁿ = 0
n→+∞
A long terme la forêt ne comportera que 1000 arbres
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