Bonjour,

1)

. force d'attraction de la Terre sur un objet au point O :

F₁ = G x Mt x m/Dt²

avec Mt masse de la Terre,

m masse de l'objet

et Dt distance de l'objet au centre de la Terre

. idem pour la force d'attraction de la Lune sur l'objet :

F₂ = G x Ml x m/Dl²

avec Ml masse de la Lune,

et Dl distance de l'objet au centre de la Lune

2) F₁ = F₂

⇒ G x Mt x m/Dt² = G x Ml x m/Dl²

⇔ Mt/Dt² = Ml/Dl²

⇔ Mt x Dl² = Ml x Dt²

On sait : Dt + Dl = D distance Terre-Lune

donc Dl = D - Dt

⇒ Mt x (D - Dt)² = Ml x Dt²

⇔ Mt x D² - 2 x Mt x D x Dt + Mt x Dt² = Ml x Dt²

⇔ (Mt - Ml)Dt² - 2MtDDt + MtD² = 0

équation du second degré de la forme : Ax² + Bx + C = 0

avec A = Mt - Ml, B = -2MtD et C = MtD² et x = Dt

Δ = B² - 4AC

racines : x₁ = (-B - √Δ)/2A et x₂ = (-B + √Δ)/2A

Donc Dt = x₁ ou x₂ = [2MtD +/- √[(2MtD)² - 4(Mt - Ml)MtD²]/2(Mt - Ml)

Calculs intermédiaires :

Mt = 5,97.10²⁴ kg, Ml = 7,34.10²² kg D = 3,84.10⁸ m

donc : A = Mt - Ml ≈ 5,90.10²⁴

B = -2MtD ≈ -4,58.10³³

C = MtD² ≈ 8,80.10⁴¹

Δ = B² - 4AC ≈ 2,08.10⁶⁵

⇒ x₁ = (-B - √Δ)/2A ≈ 3,5.10⁸ m soit 350000 km environ

x₂ ≈ (-B + √Δ)/2A ≈ 4,3.10⁸ m soit 430000 km donc au-delà de la Lune

x₂ est donc à éliminer

Dt = x₁ ≈ 350000 km de la Terre,

donc très près de la Lune (dl = D - Dt  = 384000 - 350000 = 34000 km),

ce qui est logique puisque Mt ≈ 81 x Ml

On pouvait aussi raisonner comme suit sans avoir à résoudre une équation du 2nd degré :

Mt x Dl² = Ml x Dt²

⇔ (Dt/Dl)² = Mt/Ml ≈ 81

⇒ Dt/Dl ≈ 9

Dt + Dl = D = 384000 km

donc Dl = D- Dt

⇒ Dt/(D - Dt) = 9

⇔ Dt = 9(D - Dt)

⇔ 10Dt = 9D

⇔ Dt = 9/10 x D

donc Dt = 9/10 x 384000 = 345600 km