Réponse :

a) justifier que cos²(KHL) = 1/2  et en déduire la valeur de cos (KHL)

sachant que le triangle HKL est rectangle en K  et que  sin (KHL) = √2/2

sin (KHL) = KL/HL ⇒ sin²(KHL) = (KL/HL)²

cos (KHL) = HK/HL ⇒ cos² (KHL) = (HK/HL)²

cos²(KHL) + sin²(KHL) = (KL²+ HK²)/HL²   or  d'après le th?Pythagore

KL²+HK² = HL²

donc  cos²(KHL) + sin² (KHL) = HL²/HL² = 1

d'où cos²(KHL) = 1 - sin²(KHL)  ⇔ cos²(KHL) = 1 - (√2/2)²

⇔ cos²(KHL) = 1 - 2/4 = 1 - 1/2 = 2/2  - 1/2 = 1/2

donc  cos (KHL) = √(1/2) = 1/√2 = √2/2  

  b) sachant que HL = 8 cm , déterminer les longueurs HK et KL des deux autres côtés

      cos (KHL) = HK/HL = √2/2  ⇔ HK = HL x √2/2  ⇔ HK = 8 x √2/2

         donc  HK = 4√2 cm

      sin (KHL) = KL/HL = √2/2  ⇔ KL = 4√2 cm

  c) quelles sont les valeurs exactes de cos (45°) et sin (45°)

        puisque HK = KL  donc le triangle HKL est isocèle rectangle en K

   donc ^KHL = ^KLH = 45°

    cos (45°) = √2/2   et sin(45°) = √2/2  

Explications étape par étape