Réponse :

P(x) = 4 x³ + 11 x² + 5 x - 2

1) trouver une racine évidente de ce polynôme P

  pour  x = - 1  ⇒ P(- 1) = - 4 + 11 - 5 - 2 = - 11 + 11 = 0

donc  - 1 est une racine évidente de P

2) trouver les nombres réels  a , b et c tels que pour tout x de R

           P(x) = (x + 1)(a x² + b x + c)

                  = a x³ + b x² + c x + a x² + b x + c

                  = a x³ + (a + b) x² + (b + c) x + c

a = 4

a + b = 11  ⇒ b = 11 - a  ⇒ b = 11 - 4 = 7

b + c = 5

c = - 2

donc  P(x) = (x + 1)(4 x² + 7 x - 2)

3) conclure

    P(x) = 0  ⇔ (x + 1)(4 x² + 7 x - 2) = 0  

4 x² + 7 x - 2 = 0

Δ = 49 + 32 = 81 > 0  ⇒ 2 racines distinctes

x1 = - 7 + 9)/8 = 1/4

x2 = - 7 - 9)/8 = - 16/8 = - 2

Donc le polynôme P  possède 3 racines

x = - 1

x = 1/4

x = - 2  

Explications étape par étape :