Réponse :

EXERCICE 1

a)

f(4) = -2×4²+20×4-48

f(4) = -32+80-48

f(4) = 0

f(6) = -2×6²+20×6-48

f(6) = -72+120-48

f(6) = 0

Une forme factorisée d'un polynôme du second de degré possédant deux racines x1 et x2 est

f(x) = a(x - x1)(x - x2)

Ainsi

f(x) = -2(x-4)(x-6)

b)

1ere méthode : le polynome du second degré

f(x) = -2x²+20x-48 est un polynôme du second degré avec a = -2, b= 20 et c = -48

Cf est une parabole qui admet comme axe de symétrie la droite d'équation x = (x1 + x2)/2

x = (4+6)/2

x = 5

Comme a < 0, f est croissante sur ]-∞; 5] puis décroissante sur [5; +∞[.

2eme méthode : la derivation

f est définie est dérivable sur R comme fonction polynôme.

f'(x) = -2×2x + 20×1 - 0

f'(x) = -4x + 20

Etudions le signe de f'(x) :

-4x + 20 ≥ 0

-4x ≥ -20

x ≤ 5

Ainsi sur ]-∞; 5] f'(x) est positif  donc f est croissante.

Et sur [5; +∞[, f'(x) est négative donc f est décroissante.

c) Etude du signe de f(x)

Un polynome du second degré est du signe de son coefficient a sauf entre les racines. Ainsi :

x    | -∞     4       6      +∞

f(x) |     -    0  +  0    -

Exercice 2

1) Réalisons un tableau a double entrée (voir photo)

Les issus possibles, sans tenir compte de l'ordre, sont { (2;2) ; (2;3) ; (3;3) }

Les valeurs prises par X sont X = { 4; 5; 6}

2) { X = 4 } est l'évenement " Tirer deux jetons marqués "2" "

P(X = 4) = 0,5²

P(X = 4) = 0,25

3) P(X < 6 ) = 1 - P(X = 6)

P(X < 6 ) = 1 - 0,5²

P(X < 6) = 0,75