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Explications étape par étape :

Exercice 1 : 1) voir image 1

2) [tex]\vec EF = \frac{4}{3} \vec AD - \frac{4}{3} \vec AB[/tex] = [tex]\frac{4}{3} \vec BD[/tex]

3) Exprimons le vecteur [tex]\vec FG[/tex] :

[tex]\vec AG = \vec AF + \vec FG = \vec AD + \vec DF +\vec FG = \vec AD + \frac{1}{3} \vec AD + \vec FG = \frac{4}{3} \vec AD + \vec FG[/tex]

[tex]\vec AG = \frac{4}{3} \vec AD + \vec FG = \frac{1}{3} \vec AB + \vec AD \\\vec FG = \frac{1}{3} \vec AB - \frac{1}{3} \vec AD = \frac{1}{3}(\vec AB + \vec DA) = \frac{1}{3} \vec DB[/tex]

donc : [tex]\vec FG = -\vec EF : 4[/tex]

donc : F, G et E sont alignés

Exercice 2 :

1) [tex]\vec RS = \vec RA + \vec AS[/tex] (Relation de Chasles)

or : [tex]\vec RA = \frac{1}{2} \vec AB[/tex] et [tex]\vec AS = \frac{1}{3}\vec AC[/tex]

2)

[tex]\vec AT = \vec AB + \vec BT = \vec AB + \frac{3}{5} \vec BC = \vec AB + \frac{3}{5} (\vec BA + \vec AC) = (1 - \frac{3}{5}) \vec AB + \frac{3}{5}\vec AC \\ \vec AT = \frac{2}{5} \vec AB + \frac{3}{5}\vec AC[/tex]

3) [tex]\vec RT = \vec RA + \vec AT = \frac{1}{2} \vec AB + \frac{2}{5}\vec AB + \frac{3}{5}\vec AC = \frac{9}{10}\vec AB + \frac{3}{5}\vec AC[/tex]

4) [tex]\frac{9}{5} \vec RS = \frac{9}{5} (\frac{1}{2}\vec AB + \frac{1}{3}\vec AC) = \frac{9}{10}\vec AB + \frac{3}{5}\vec AC = \vec RT[/tex]

Donc les deux vecteurs [tex]\vec RS[/tex] et [tex]\vec RT[/tex] sont colinéaires.

Je n'ai pas le temps pour le 3ème désolé