LeTemps

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N et m sont impairs donc on peut les écrire de la manière suivante :
n=2p+1
m=2q+1
avec p,q deux entiers
ainsi m²+n²+6 = (2p+1)²+(2q+1)² + 6 
m²+n²+6 = 4p²+4p+1 + 4q²+4q+1 + 6
m²+n²+6 = 4(p²+q² + p+q) + 8
Ensuite tu remarques que p²+p = p(p+1)
donc de même q²+q = q(q+1)
Donc ça se réécrit :
m²+n²+6 = 4[(p(p+1) + q(q+1)] + 8

comme p et p+1 sont consécutifs il y en a forcément un des deux qui est pair. Peu importe lequel, le produit p(p+1) est donc pair aussi. De même pour q(q+1) 
donc on peut réecrire si on veut p(p+1) = 2k avec k un entier
et q(q+1) = 2L avec L un entier

Donc finalement on a :
m²+n²+6 = 4[2K + 2L] + 8 = 8(K+L) + 8 
m²+n²+6 = 8 (K+L+1)
 donc c'est bien divisible par 8    CQFD (Ce Qu'il Fallait Démontrer)