Réponse :

1) a) exprimer la longueur AC en fonction de x

ABC triangle rectangle en B, donc d'après le th.Pythagore

AC² = AB²+BC²  ⇔ AC² = 1 + x²  ⇔ AC = √(1+x²)

    b) en déduire l'expression du périmètre f(x) du carré ACDE en fonction de x

                 f(x) = 4 * AC  ⇔ f(x) = 4√(1+x²)

2) déterminer les valeurs de x de façon à ce que le périmètre de ACDE soit supérieur ou égal à 40

              f(x) ≥ 40 ⇔ 4√(1+x²) ≥ 40  ⇔  √(1+x²) ≥ 10  ⇔ [√(1+x²)]² ≥ 10²

⇔ 1 + x² ≥ 100  ⇔ x² ≥ 99  ⇔ x ≥ √99  ⇔ x ≥ 3√11

3) déterminer les valeurs de x afin que le périmètre de ACDE soit strictement compris entre 16 et 80

                    16 < f(x) < 80  ⇔ 16 < 4√(1+x²) < 80  ⇔ 4 < √(1+x²) < 20

√(1+x²) > 4  ⇔ 1 + x² > 16  ⇔ x > √15

 1 + x² < 400  ⇔ x² < 399  ⇔ x < √399

              donc       √15 < x < √399

Explications étape par étape