Bonjour,

Affirmation 1 : Fausse.

Contre-exemple : les suites et définies pour tout entier naturel n par et .

Alors, et sont divergentes (vers et respectivement), mais la suite est convergente car il s'agit de la suite nulle (pour tout n, ).

Affirmation 2 : Vraie.

Par exemple : Les suites et définies pour tout n non nul par et .

Alors , et .

Affirmation 3 : Fausse.

Contre-exemple : La suite définie pour tout n non nul par .

Alors n'a aucun terme nul et converge vers 0.

Mais la suite diverge vers (car pour tout n).

Rq : Le résultat est vrai si on impose que la limite de soit non nulle.

Affirmation 4 : Vraie.

Il est clair que est croissante pour ( donc ).

Si elle était majorée, elle convergerait vers .

Alors, .

En passant à la limite dans , on obtient : ce qui est absurde.

Ainsi, n'est pas majorée et croissante à partir d'un certain rang.

Donc, .