Bonsoir j'ai bien d'aide pour un DM de mathématiques niveau 2nd.
j'arrive pas au 3.a et b et au 4
Le triangle ABC est tel que AB=6 cm, AC=8 Cm et BC =9 cm. On place un point M du segment [AB]. La parallèle à (BC) passant par M coupe [AC] en un point nommé N.
On cherche les positions de M telles que le périmètre de BMNC soit supérieur aux trois-quarts du périmètre du triangle ABC.
1. Faire une figure.
2. Un élève propose de placer M en I milieu de [AB]. Quen pensez-vous ?
3. On appelle x la mesure de AM en cm.
a. Exprimer MN et AN en fonction de x.
b. Exprimer le périmètre de BMNC en fonction de x.
4. Résoudre le problème posé.
Merci d'avance !
j'arrive pas au 3.a et b et au 4
Le triangle ABC est tel que AB=6 cm, AC=8 Cm et BC =9 cm. On place un point M du segment [AB]. La parallèle à (BC) passant par M coupe [AC] en un point nommé N.
On cherche les positions de M telles que le périmètre de BMNC soit supérieur aux trois-quarts du périmètre du triangle ABC.
1. Faire une figure.
2. Un élève propose de placer M en I milieu de [AB]. Quen pensez-vous ?
3. On appelle x la mesure de AM en cm.
a. Exprimer MN et AN en fonction de x.
b. Exprimer le périmètre de BMNC en fonction de x.
4. Résoudre le problème posé.
Merci d'avance !
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Réponse :Bonsoir. Je vais essayer de vous aider avec votre DM de mathématiques. Voici quelques éléments de réponse :
1. Voici une figure possible du triangle ABC et du point M :
![Figure](#graphic_art("un triangle ABC avec AB=6 cm, AC=8 cm et BC=9 cm, et un point M sur le segment [AB]"))
2. Si on place M en I milieu de [AB], alors MN sera parallèle et égale à la moitié de BC, et AN sera égale à la moitié de AC. Donc le périmètre de BMNC sera égal à la moitié du périmètre de ABC. Ce n'est pas ce qu'on cherche, car on veut que le périmètre de BMNC soit supérieur aux trois-quarts du périmètre de ABC.
3. a. Comme MN est parallèle à BC, on peut appliquer le théorème de Thalès¹²³ et dire que :
$$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$$
En remplaçant les longueurs connues, on obtient :
$$\frac{x}{6}=\frac{AN}{8}=\frac{MN}{9}$$
Donc :
$$AN=\frac{8x}{6}=\frac{4x}{3}$$
et
$$MN=\frac{9x}{6}=\frac{3x}{2}$$
b. Le périmètre de BMNC est la somme des longueurs de ses côtés, donc :
$$P_{BMNC}=BM+MN+NC+BC$$
Or, on sait que BM=AB-AM=6-x, NC=AC-AN=8-\frac{4x}{3}, et BC=9. Donc :
$$P_{BMNC}=6-x+\frac{3x}{2}+8-\frac{4x}{3}+9$$
En simplifiant, on obtient :
$$P_{BMNC}=23-\frac{x}{6}$$
4. On cherche les positions de M telles que le périmètre de BMNC soit supérieur aux trois-quarts du périmètre du triangle ABC. Or, le périmètre du triangle ABC est la somme des longueurs de ses côtés, donc :
$$P_{ABC}=AB+BC+AC=6+9+8=23$$
Les trois-quarts du périmètre du triangle ABC sont donc égaux à :
$$\frac{3}{4}\times P_{ABC}=\frac{3}{4}\times 23=\frac{69}{4}$$
On doit donc résoudre l'inéquation suivante :
$$P_{BMNC}>\frac{3}{4}\times P_{ABC}$$
En remplaçant P_{BMNC} par son expression en fonction de x, on obtient :
$$23-\frac{x}{6}>\frac{69}{4}$$
En simplifiant, on obtient :
$$-\frac{x}{6}>-\frac{23}{4}$$
En multipliant les deux membres par -6, on obtient :
$$x<\frac{69}{2}$$
Donc M doit être placé sur le segment [AB] tel que AM soit inférieur à $\frac{69}{2}$ cm.
J'espère que cela vous a été utile. N'hésitez pas à me poser d'autres questions si vous en avez.