Bonsoir, J'ai un DM sur les équations et inéquations avec les fonctions. A la fin, une comparaison a.... Pergunta de ideia dePOKOPOPS

May 2019 1 35 Report

Bonsoir,

J'ai un DM sur les équations et inéquations avec les fonctions.
A la fin, une comparaison avec deux nombres (m et n).

Pouvez-vous m'aider, svp ? J'ai beaucoup de mal avec les inéquations en priorité...

Bonne soirée !

Merci de m'aider... :)

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Commentaires Bonjour POKOPOPS

Exercice 1

f(x) = 3 - x²

1.a) Résous algébriquement (par le calcul) l’équation f(x)=0

3 - x² = 0
x² = 3
x = √3 ou x = -√3

b) Etablis alors le tableau de signes de la fonction f.

$\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&-\sqrt{3}&&\sqrt{3}&&+\infty \\ f(x)&&+&0&-&0&+&\\ \end{array}$

2.a) Détermine l’expression de la fonction affine g représentée par la droite (d).

g(x) est de la forme g(x) = ax + b

$\left\{\begin{matrix}g(0)=1\\g(1)=0 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}a\times0+b=1\\a\times1+b=0 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}0+b=1\\a+b=0 \end{matrix}\right.\\\\\\\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}b=1\\a+b=0 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}b=1\\a+1=0 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}b=1\\a=-1 \end{matrix}\right.\\\\\\\Longrightarrow\boxed{g(x)=-x+1}$

b) Résous graphiquement l’inéquation f(x)>g(x).

Il faut déterminer les valeurs de x telles que la courbe représentative de la fonction f est au-dessus de la courbe représentative de la fonction g.

Graphiquement, nous voyons que x doit être compris entre -1 et 2

Donc : f(x) > g(x) <==> x ∈ ]-1 ; 2[

3) a) Développe (x+1)(-x+2).

(x + 1)(-x + 2) = -x² + 2x - x + 2
(x + 1)(-x + 2) = -x² + x + 2

b) Résous algébriquement l’inéquation f(x)>g(x).

3 - x² > -x + 1
3 - x² + x - 1 > 0
-x² + x + 2 > 0
(x + 1)(-x + 2) > 0

$\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&-1&&2&&+\infty \\ x+1&&-&0&+&+&+&\\ -x+2&&+&+&+ &0&-&\\ (x+1)(-x+2)&&-&0&+&0&-&\\ \end{array}\\\\\\(x+1)(-x+2)\ \textgreater \ 0\Longleftrightarrow x\in]-1;2[$

Donc : f(x) > g(x) <==> x ∈ ]-1 ; 2[

Exercice 2

1. Résous algébriquement l’inéquation 11+ 5x/(x+3) ≥13.

$11+ \dfrac{5x}{x+3}\ge13\\\\11+ \dfrac{5x}{x+3}-13\ge0\\\\\dfrac{5x}{x+3}-2\ge0\\\\\dfrac{5x}{x+3}-\dfrac{2(x+3)}{x+3}\ge0\\\\\dfrac{5x-2(x+3)}{x+3}\ge0\\\\\dfrac{5x-2x-6}{x+3}\ge0\\\\\dfrac{3x-6}{x+3}\ge0\\\\\\\begin{array}{|c|ccccc|} x&0&&2&&+\infty \\ 3x-6&&-&0&+&\\x+3&&+&+&+&\\\frac{3x-6}{x+3}&&-&0&+&\\ \end{array}\\\\\\\dfrac{3x-6}{x+3}\ge0\Longleftrightarrow x\in[2;+\infty[$

Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'inéquation est $\boxed{S=[2;+\infty[}$

2) a) Calcule soigneusement le périmètre du trapèze BCNM.

Périmètre du trapèze BCNM = BC + NC + MN + BN
Périmètre du trapèze BCNM = 5 + 3 + MN + 3
Périmètre du trapèze BCNM = 11 + MN

Calcul de MN.

Par Thalès dans le triangle ABC,

$\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AC}{AN}=\dfrac{BC}{MN}\\\\\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{BC}{MN}\\\\\dfrac{x+3}{x}=\dfrac{5}{MN}\\\\(x+3)\times MN=5\times x\\\\\boxed{MN=\dfrac{5x}{x+3}}$

Par conséquent, $le\ p\acute{e}rim\grave{e}tre\ du\ trap\grave{e}ze\ BCNM =11+\dfrac{5x}{x+3}$

b) Montre que cette question revient à résoudre l’inéquation de la question 1.

Déterminer pour quelles valeurs de x, le périmètre de ce trapèze est supérieur à 13 cm revient donc à résoudre l'inéquation $11+ \dfrac{5x}{x+3}\ge13$

c) Répond à la question.

Le périmètre de ce trapèze est supérieur à 13 cm si x est supérieur à 2 cm.

Exercice 3

$m=\dfrac{1}{\dfrac{a+b}{2}}\\\\\\\boxed{m=\dfrac{2}{a+b}}\\\\\\n=\dfrac{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}{2}\\\\\\n=\dfrac{\dfrac{b}{ab}+\dfrac{a}{ab}}{2}\\\\\\n=\dfrac{\dfrac{a+b}{ab}}{2}\\\\\\\boxed{n=\dfrac{a+b}{2ab}}$

Etudions le signe de la différence : n - m

$n - m = \dfrac{a+b}{2ab}-\dfrac{2}{a+b}\\\\n - m = \dfrac{(a+b)^2-4ab}{2ab(a+b)}\\\\n - m = \dfrac{a^2+2ab+b^2-4ab}{2ab(a+b)}\\\\n - m = \dfrac{a^2-2ab+b^2}{2ab(a+b)}\\\\n - m = \dfrac{(a-b)^2}{2ab(a+b)}$

Or (a - b)² ≥ 0 car un carré n'est jamais négatif
2ab(a + b) > 0 car a > 0 et b > 0

D'où : n - m ≥ 0

soit $\boxed{n\ge m}$

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