Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape

J'espère qu'il n'est pas trop tard pour te répondre !!

1)

a)

g '(x)=1/x + 4x --->OK

b)

On ne te demande pas le tableau de signes de g(x) qui est faux d'ailleurs! Tu dis donc :

Sur ]0;+inf[ , 1/x > 0 et 4x > 0 donc g '(x) > 0

Variation :

x--------->0......................................................+inf

g '(x)---->||....................+................................

g(x)------->||...................C...............................

C=flèche qui monte.

c)

lim g(x) quand x tend vers 0+ :

ln(x)= -inf

x--->0+

lim (2x²)=0

x--->0+

Par somme :

lim g(x)=-inf+0=-inf

x--->0+

lim g(x) quand x tend vers +inf :

ln(x)= +inf

x--->+inf

lim (2x²)=+inf

x--->+inf

Par somme :

lim g(x)=+inf

x--->+inf

Donc sur ]0;+inf[ , la fct g(x) est continue et strictement croissante passant de valeurs négatives quand x tend vers -inf à des valeurs positives quand x tend vers +inf. D'après le théorème des valeurs intermédiaires , il existe un unique réel α tel que g(α)=0.

On entre la fct g(x) dans la calculatrice.

g(1)=-1 < 0 et g(2)=5.6931 > 0

g(1.1)=-0.4847 < 0 et g(1.2) = 0.06232 > 0

g(1.18) = -0.497  < 0 et g(1.19) = 0.00615 > 0

Donc :

α ≈ 1.19 à 0.01 près.

d)

x---------->-inf........................α.....................+inf

g(x)------->................-............0...........+..........

2)

a)

La dérivée de 2/x est -2/x².

lnx/x est de la forme u/v avec :

u=lnx donc u '=1/x

v=x donc v '=1

(u'v-uv')/v² =(1-lnx)/x²

Donc :

f '(x)=-2/x² - (1-lnx)/x²+2

On réduit au même déno :

f '(x)=(-2-1+lnx+2x²)/x²

f '(x)=(lnx+2x²-3)/x²

f '(x)=g(x)/x²

b)

Donc f '(x) est du signe de g(x).

Tableau de variation de f(x) :

x------------>0..............................α≈1.19.......................+inf

f '(x)------->...............-....................0.................+.............

f (x)------->..................D.................≈-1.08................C..............

D=flèche qui descend

C=flèche qui monte

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Bonjour,

Explications étape par étape

Une autre méthode pour trouver une solution

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