Réponse :

lim(1/x)=0  et lim sin(X)=0 donc par composée lim sin(1/x)=0

x→+∞               X→0                                               x→+∞

lim [(x²+3)/(2x²-1)] = lim [(1+3/x)/(2-1/x²)] = 1/2

x→+∞                        x→+∞

et lim √X = √2 /2  donc par composée lim √[(x²+3)/(2x²-1)] = √2/2

 X→1/2                                                      x→+∞

lim [(x²-1)/(x²+x)] = lim [(x-1)(x+1)/((x(x+1))]  = lim [(x-1)/x] = lim (1 - 1/x) = 2

x→-1                        x→-1                                x→-1              x→-1

et

lim cosX = cos 2

X→2

donc

lim cos[(x²-1)/(x²+x)] = cos2

x→-1

Comparaison

-1 ≤ sin(x)≤1

-1/x ≤ sin(x)/x ≤1/x avec x >0

lim (-1/x) = lim (1/x) = 0

x→+∞        x→+∞

donc par encadrement lim (sin(x)/x)=0

                                       x→+∞

-1 ≤ cos(x) ≤ 1

-5 ≤ -5cos(x) ≤ 5

-2 ≤ 3-5cos(x) ≤ 8

-2/(x²+1) ≤ (3-5cos(x))/(x²+1) ≤ 8/(x²+1)  avec (x²+1)>0

lim (-2/(x²+1)) = lim (8/(x²+1)) = 0

x→+∞                 x→+∞

donc par encadrement lim [(3-5cos(x))/(x²+1)]=0

                                       x→+∞

-1 ≤ cos(x) ≤ 1

x-1 ≤ x+ cos(x) ≤ x+1

lim (x-1)= lim(x+1) = -∞

x→-∞        x→-∞

donc par encadrement lim ( x + cos(x))=-∞

                                        x→-∞