Réponse :

TERMINALE/MATHS

Bonjour/Bonsoir, j'aurai besoin, s'il vous plaît d'aide sur un exercice de maths (mis en piece jointe)

J'ai deja fait le 1 et j'aimerai de l'aide sur le 2 (la récurrence) svp

u0 = 1  et un+1 = 2un - n + 3

2) Montrer par récurrence que pour tout n ∈ N,   un = 3 x 2ⁿ + n - 2

on note  P(n) :  un = 3 x  2ⁿ

- initialisation :  vérifions que pour n = 0,  P(0) est vraie

                u0 = 1 = 3 x 2⁰ + 0 - 2 = 1  donc  P(0) est vraie

- hérédité :  soit un entier n    supposons  que P(n) est vraie et montrons que P(n+1) est vraie  c'est à dire il faut montrer que

un+1 = 3 x 2ⁿ⁺¹ + (n +1) - 2

sachant que un+1 = 2un - n + 3

                              = 2(3 x 2ⁿ + n - 2) - n + 3

                              = 3 x 2 x 2ⁿ  + 2 n - 4 - n + 3

                              = 3 x 2ⁿ⁺¹  + n + 1  - 4 + 2

                   un+1 =  3 x 2ⁿ⁺¹  + (n + 1)  - 2    donc P(n+1) est vraie

- conclusion :  P(0) est vraie ; P(n) est héréditaire au rang n

donc par récurrence  P(n) est vraie  pour tout entier naturel n        

Explications étape par étape :