Bonsoir! J'aurai besoins d'aide pour cet exercice d'un DM de maths a rendre pour le 31 mars! Je donne 15 POINTS :) Merci d'avance!
Soit A(-3; 5 ) ; B(-2; -2) ; C(4 ; 1) et D (0; -1)
1) Déterminer la nature des triangles ADB et ADC
2) Justifier que D appartient au segment (BC)
3) Donner une mesure approché au dixième de degré près des angles ABC et ACB
Soit A(-3; 5 ) ; B(-2; -2) ; C(4 ; 1) et D (0; -1)
1) Déterminer la nature des triangles ADB et ADC
2) Justifier que D appartient au segment (BC)
3) Donner une mesure approché au dixième de degré près des angles ABC et ACB
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Bonsoir,1) AD=√((Xb-Xa)²+(Yb-Ya)²)
=√((0(-3)² + (-1-5)²)
=√45
De la même manière, on a :
AB=√50 et BD=√5
Ainsi, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABD est rectangle en D.
En effet : AB²=AD²+BD² <=> √50²=√45²+√5² <=> 50=50
Même méthode pour le triangle ACD :
AD=√45 ; AC=√65 ; DC=√20
De même : √65²=√45²+√20² <=> AC²=AD²+DC²
Ainsi, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ADC est rectangle en D.
2) L'angle ADB est un angle droit et l'angle ADC est également un angle droit.
Ainsi, l'angle BDC est un angle plat (car formé par deux angles droits).
Par conséquent : D∈[BC]
3) On cherche la mesure de l'angle ABC, qui est donc, comme D∈[BC], égal à l'angle ABD, ce qui nous permet d'utiliser les relations trigonométriques.
Ainsi : cos(ABD)=BD/BA
=√5/√50
=√(1/10)
cos-1(√(1/10))≈71.6
On a donc l'angle ABC≈71.6°
De même pour l'angle ACD :
cos (ACD)=DC/AC
=√20/√65
cos-1(√20/√65)≈56.3
Ainsi : on a l'angle ACB≈56.3°
1) Soit xAD et yAD les coordonnées du vecteur AD , donc :
xAD = 0 + 3 = 3 et yAD = - 1 - 5 = - 6 ,
donc : AD² = 3² + (- 6)² = 9 + 36 = 45 donc AD = √(45) = 3√5 .
Soit xAB et yAB les coordonnées du vecteur AB , donc :
xAB = - 2 + 3 = 1 et yAB = - 2 - 5 = - 7 ,
donc : AB² = 1² + (- 7)² = 1 + 49 = 50 donc AB = √(50) = 5√2 .
Soit xBD et y BD les coordonnées du vecteur BD , donc :
xBD = 0 + 2 = 2 et yBD = - 1 + 2 = 1 ,
donc : BD² = 2² + 1² = 4 + 1 = 5 donc BD = √5 .
On a : AD² + BD² = 45 + 5 = 50 = AB² , donc par le théorème réciproque de Pythagore , le triangle ADB est un triangle rectangle en D .
Soit xAC et yAC les coordonnées du vecteur AC , donc :
xAC = 4 + 3 = 7 et yAC = 1 - 5 = - 4 ,
donc : AC² = 7² + (- 4)² = 49 + 16 = 65 .
Soit xDC et yDC les coordonnées du vecteur DC , donc :
xDC = 4 - 0 = 4 et yDC = 1 + 1 = 2 ,
donc : DC² = 4² + 2² = 16 + 4 = 20 , donc DC = √(20) = 2√5 .
On a : DC² + AD² = 20 + 45 = 65 = AC² , donc par le théorème réciproque de Pythagore , le triangle ADC est un triangle rectangle en D .
2) On a : DB + DC = √5 + 2√5 = 3√5 = AD donc D ∈ [BC] .
3) On a :
tan(ABC) = AD/DB = (3√5)/√5 = 3 donc l'angle ABC ≈ 71,6° ,
et tan(ACB) = AD/DC = (3√5)/(2√5) = 3/2 donc l'angle ACB ≈ 56,3° .