Bonsoir, J'aurais besoin d'aide pour les deux exercices ci-dessous avec une réponse détaillée pour q.... Pergunta de ideia deSalut22

May 2019 1 134 Report

Bonsoir,
J'aurais besoin d'aide pour les deux exercices ci-dessous avec une réponse détaillée pour que je puisse comprendre. Merci beaucoup :)

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Bonjour Salut22

Exercice 97

$1)\ \boxed{u_0=5}\\\\u_1=\dfrac{1}{2}u_0+4=\dfrac{1}{2}\times5+4=\dfrac{13}{2}=6,5\Longrightarrow\boxed{u_1=6,5}\\\\u_2=\dfrac{1}{2}u_1+4=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{13}{2}+4=\dfrac{29}{4}=7,25\Longrightarrow\boxed{u_2=7,25}\\\\\boxed{u_3=7,625}\\\\\boxed{u_4=7,8125}$

$2)\ a)\ v_{n+1}=u_{n+1}-8\\\\v_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_{n}+4-8\\\\v_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_{n}-4\\\\v_{n+1}=\dfrac{1}{2}(u_{n}-8)\\\\\boxed{v_{n+1}=\dfrac{1}{2}v_n}$

D'où la suite (Vn) est une suite géométrique de raison 1/2 et dont le premier terme est $v_0=u_0-8=5-8=-3$

$b)\ v_n=v_0\times q^n\Longrightarrow\boxed{v_n=-3\times(\dfrac{1}{2})^n}\\\\\\3)\ a)\ v_n=u_n-8\Longrightarrow u_n=v_n+8\\\\\Longrightarrow\boxed{u_n=-3\times(\dfrac{1}{2})^n+8}\\\\\\b)\ u_{10}=-3\times(\dfrac{1}{2})^{10}+8\\\\\boxed{u_{10}=7,9970703125}\\\\\\4)\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\lim\limits_{n\to+\infty}[-3\times(\dfrac{1}{2})^n+8}]\\\\\\\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\lim\limits_{n\to+\infty}[-3\times(\dfrac{1}{2})^n]+\lim\limits_{n\to+\infty}8\\\\\\\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0+8$

$\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=8}$

Exercice 95

$1)\ r=3,236\ 236\ 236\ ...\\\\r=3+0,236\ 236\ 236\ ...\\\\r=3+0,236+0,000\ 236\ 236\ ...\\\\r=3+0,236+0,000\ 236+0,000\ 000\ 236\ +...\\\\\Longrightarrow\boxed{r=3+236\times10^{-3}+236\times10^{-6}+236\times10^{-9}+..}$

$2)\ u_1=236\times10^{-3}\\\\u_2=236\times10^{-6}=236\times10^{-3}\times10^{-3}=u_1\times10^{-3}=10^{-3}\times u_1\\\\u_3=236\times10^{-9}=236\times10^{-6}\times10^{-3}=u_2\times10^{-3}=10^{-3}\times u_2\\...\\\\\boxed{u_{n+1}=10^{-3}\times u_n}$

D'où la suite (Un) est une suite géométrique de raison $q=10^{-3}$ et dont le premier terme est $u_1=236\times10^{-3}$

$3)\ S_n=u_1+u_2+...+u_n\\\\S_n=u_1\times\dfrac{1-q^n}{1-q}\\\\S_n=236\times10^{-3}\times\dfrac{1-(10^{-3})^n}{1-10^{-3}}\\\\S_n=236\times10^{-3}\times\dfrac{1-10^{-3n}}{1-0,001}\\\\S_n=236\times10^{-3}\times\dfrac{1-10^{-3n}}{0,999}\\\\S_n=\dfrac{236\times10^{-3}}{0,999}\times(1-10^{-3n})\\\\S_n=\dfrac{236\times10^{-3}}{999\times10^{-3}}\times(1-10^{-3n})\\\\\\\boxed{S_n=\dfrac{236}{999}\times(1-10^{-3n})}$

$4)\ \lim\limits_{n\to+\infty}S_n=\lim\limits_{n\to+\infty}[\dfrac{236}{999}\times(1-10^{-3n})]\\\\\\\lim\limits_{n\to+\infty}S_n=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{236}{999}\times\lim\limits_{n\to+\infty}(1-10^{-3n})\\\\\\\lim\limits_{n\to+\infty}S_n=\dfrac{236}{999}\times\lim\limits_{n\to+\infty}(1-0)\\\\\\\lim\limits_{n\to+\infty}S_n=\dfrac{236}{999}\times1\\\\\\\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}S_n=\dfrac{236}{999}}$

5) Ecriture fractionnaire de r.

$r=3+\dfrac{236}{999}\\\\r=\dfrac{2997}{999}+\dfrac{236}{999}\\\\\Longrightarrow\boxed{r=\dfrac{3233}{999}}$

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Salut22 Merci beaucoup !!!