bonsoir j'aurais besoin d'aide sur l'exercice 5 svp. 1.) Étudier le signe f'(x) et dresser le tablea.... Pergunta de ideia decynthiabilap8

October 2020 1 133 Report

bonsoir j'aurais besoin d'aide sur l'exercice 5 svp.
1.) Étudier le signe f'(x) et dresser le tableau de variation de f.

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godetcyril

Réponse : $f'(x)=2\sin(2x)-1$ .

On étudie le signe de f'(x).

On résout l'inéquation:

$2\sin(2x)-1 \geq 0\\2\sin(2x) \geq 1\\\sin(2x) \geq \frac{1}{2}$ .

Sur l'intervalle $[-\pi;\pi]$ , les solutions de l'inéquation $\sin(x) \geq \frac{1}{2}$ , est l'intervalle $[\frac{\pi}{6};\frac{5\pi}{6}]$ ou l’intervalle $[-\frac{11\pi}{6};-\frac{7\pi}{6}]$ , donc les solutions de l'inéquation $\sin(2x) \geq \frac{1}{2}$ sont:

$\frac{\pi}{6} \leq 2x \leq \frac{5\pi}{6}\\\frac{\pi}{6} \times \frac{1}{2} \leq x \leq \frac{5\pi}{6} \times \frac{1}{2}\\\frac{\pi}{12} \leq x \leq \frac{5\pi}{12}$ .

$-\frac{11\pi}{6} \leq 2x \leq -\frac{7\pi}{6} \\-\frac{11\pi}{12} \leq x \leq -\frac{7\pi}{12}$

Donc $f'(x) \geq 0$ , sur l'intervalle $[-\frac{11\pi}{12};-\frac{7\pi}{12}] \cup[\frac{\pi}{12};\frac{5\pi}{12}]$ , et donc $f'(x) \leq 0$ , sur l'intervalle $[-\pi ;-\frac{11\pi}{12}]\cup[-\frac{7\pi}{12};\frac{\pi}{12}] \cup [\frac{5\pi}{12};\pi]$ .

f est donc croissante sur l'intervalle $[-\frac{11\pi}{12};-\frac{7\pi}{12}] \cup[\frac{\pi}{12};\frac{5\pi}{12}]$ , et décroissante sur l'intervalle $[-\pi ;-\frac{11\pi}{12}]\cup[-\frac{7\pi}{12};\frac{\pi}{12}] \cup [\frac{5\pi}{12};\pi]$ .

On a donc le tableau suivant:

x -pi -11pi/12 -7pi/12 pi/12 5pi/12 pi

f'(x) - Ф + Ф - Ф + Ф -

f(x) (décroissant) (croissant) (décroissant) (croissant) (décroissant)

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