Réponse :

Explications étles points E et H sont tels que vecteur AE=  vecteur AD et vecteur CH=  CD

QUESTION 

exprimer vecteur BE et BH en fonction de AB et AD

AE= .AD

AB+BE=3/2AD

BE=-1AB+AD

CH=CD

CH=BA

CB+BH=BA

BH=BC-AB

BH=-AB+1AD

démontrer que vecteur BE et BH sont colinéaires et conclure

BH=.BE

donc BE et BH sont colinéaires

donc B,E,H sont alignés

Ce sont tous des vecteurs, je ne mets pas les flèches.

1) BE = BA + AE ;   BH = BC + CH

utilisation de la relation de Chasles

2) exprimer BE et BH en fonction de AB et AD

BE = BA + AE  (question 1)

    = BA + 3/2 AD (énoncé)

    =  -AB + 3/2 AD   BA est l'opposé de AB)

BH = BC + CH  (question 1)

     = BC + 2/3 CD (énoncé)

     = AD + 2/3 CD   (dans le parallélogramme BC = AD)

     = AD  + 2/3 BA     ( -----------------------------        CD = BA)

     = AD - 2/3 AB

on a     BE = -AB + 3/2 AD

           BH = -2/3 AB + AD

BH = 2/3(-AB + 3/2 AD) j'ai mis 2/3 en facteur

d'où BH = 2/3 BE

les vecteurs BH et BE sont colinéaires, les droites BE et BH sont parallèles.

Elles ont en commun le point B, elles sont donc confondues.

remarque (il s'agit encore de vecteurs)

soient u(x;y) et v(x';y') : u et v colinéaires <=> xy' = x'y

dans les cas de l'exercice BE(-1;3/2) et BH(-2/3;1)

xy' : -1*1 = -1    x'y : 3/2*-2/3 = -1 égalité vérifiée les vecteurs sont colinéaires