Réponse :

Explications étape par étape :

Rappel de cours : Soit une fonction f(x). UNE primitive, quand elle existe, de f(x) est F(x)   tel que F'(x) = f'x)

Commençons par j(x)

j(x) = 4/x² = 4 x⁻²

Si tu ne connais pas tes primitives par coeur (comme moi), tu connais au moins LA formule de dérivation

(xⁿ)' = n xⁿ⁻¹

Regarde à droite : On veut la primitive de xⁿ  , pas de xⁿ⁻¹

(xⁿ⁺¹)' = (n+1) xⁿ

( xⁿ⁺¹ /(n+1) )' = xⁿ  

UNE  primitive de xⁿ, pour n différent de -1 est : xⁿ⁺¹ /(n+1)

Pourquoi une ? parce que c'est à une constante près.

qqsoit C réel,  ( C + xⁿ⁺¹ /(n+1) )' = xⁿ    ok ?

pour j(x) :

On recherche UNE primitive J(x) de j(x)

j(x)  = 4 x⁻²

J(x) est de la forme k.x⁻¹ + C  

En effet :

J'(x)  = k(-1) x⁻² = -k x⁻²

Comme c'est égal à j(x), alors -k=4 donc k= -4

Finalement

J(x) = -4 x⁻¹ + C  

J(x) = -4 /x + C  , C quelconque réel.

i(x) = (2x-2) /(x²-2x+3)²  

Cherchons une primitive I(x) de i(x)

:

Ca ressemble à une formule de dérivation du ratio 1/v

Je ne connais pas tout par coeur, sauf

(xⁿ ) ' = n xⁿ⁻¹

et (f o g )' = (g(f))' = g'(f(x)) .f'(x)

donc, pour (1/v)' = (v⁻¹) ' = ( -1. v⁻² ) . v'

(1/v)' = -v' /v²

Donc, ici :

i(x) = (2x-2) /(x²-2x+3)²  

posons v = x²-2x+3

v' = 2x -2

Tiens !

( -1 /(x²-2x+3)  )' = -  (-(2x-2)) / (x²-2x+3)²  = i(x)

Primitive de i(x)  :  C + -1 /(x²-2x+3)