arbertali  une fonction affine est une fonction obtenue par analyse  et multiplication de la variable par des constantes. Elle peut donc s'écrire sous la forme :où les paramètres  et  ne dépendent pas de .Lorsque ces paramètres sont des nombres réels, une telle fonction est représenté par une droite, dont  est le coefficient directeur et  l'ordonnée à l'origine.Un cas particulier des fonctions affines est lorsque l'ordonnée à l'origine est nulle, on obtient alors une fonction linéaire .Les fonctions constantes et linéaire sont des exemples de fonctions affines.La notion de fonction affine est généralisée en géométrie par celle d'application affine.

ericdet20 Exemples :
 
  
 
 
Cas particuliers
 
 
Il y a deux cas particuliers importants de fonctions affines : f(x) = ax + b
 
● Si b = 0, c’est-à-dire, f(x) = ax ; alors f est appelée fonction linéaire.

● Si a = 0, c’est-à-dire, f(x) = b ; alors f est une fonction constante.
 
 
Exemples :
 
  Représentation graphique
 
 
Une fonction affine est représentée graphiquement par une droite qui n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées.
 
Cas particuliers :
 
● Si b = 0, f(x) = ax, f est une fonction linéaire et la représentation graphique est une droite passant par l’origine O.
 
● Si a = 0, f(x) = b, f est constante et la droite est parallèle à l’axe des abscisses.
 
 
 
Exemples :
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Définitions
 
 
Pour une fonction affine f(x) = ax + b dont D est la droite représentant f alors:
⇒ a est appelé coefficient directeur de D
⇒ b est appelé ordonnée à l’origine
 
 
Exemples :
 
f(x) = 5x - 3
Le coefficient directeur est 5 et l’ordonnée à l’origine est -3
 
f(x) = 1 - 2x
Le coefficient directeur est -2 et l’ordonnée à l’origine est 1
 
 
 
Trouver une équation de droite à partir du graphique
 
 
Méthode n°1 pour trouver une équation de droite à partir de sa représentation graphique.
 
 
 
 
 
  • Lecture du coefficient directeur :
 
Lorsque x augmente de 1, y augmente de 2
donc le coefficient directeur de D est 2 : a = 2

 
• Lecture de l’ordonnée à l’origine :
 
La droite D coupe l’axe des ordonnées au
point d’ordonnée 1. L’ordonnée à l’origine
est donc 1 : b = 1

 
• Conclusion :
 
On a donc : f(x) = 2x + 1
 
 
 
 
 
Méthode n°2 pour trouver une équation de droite à partir de sa représentation graphique.
 
 
La droite passe par les points A(1;1) et B(4;3).
 
  • Calcul du coefficient directeur
Il se calcule grâce à la formule :

 
  • Calcul de l’ordonnée à l’origine
On le calcule en utilisant les coordonnées du
point A qui vérifie l’équation :

 • Conclusion

 
 
 
Sens de variation
 
 
Si a > 0 alors f est strictement croissante sur .
Si a < 0 alors f est strictement décroissante sur .
Si a = 0 alors f est une fonction constante sur .
 
 
Exemples :
 
 
 
 
Illustration :
 
 
    Signe d’une fonction affine
 
 
Le signe de la fonction affine f(x) = ax + b dépend du signe du coefficient directeur a.
 
 
 
 
Caractérisation d’une fonction affine
 
 
Une fonction f est une fonction affine si, et seulement si, l’accroissementde l’image est proportionnel à l’accroissementde la variable. Autrement dit, x1 et x2 étant deux nombres réels distincts :
 
 
 
 
Caractérisation d’une fonction affine
 
 
Méthode pour déterminer une fonction affine f connaissant sa valeur en deux points distincts :
 
(On connaît la valeur des images f(x1) et f(x2) d’une fonction affine pour deux valeurs distinctes x1 et x2 et on veut trouver l’expression de f(x) pour x quelconque.)
 
 
 
 
Descriptif de la méthode
 
 
1. Sachant que f est affine, on peut l’écrire sous la forme :
 
2. On détermine la valeur de a en utilisant la formule :
 
3. On détermine b en résolvant l’une des deux équations :
 
 
 
Exemple :