Bonsoir!
Je suis actuellement sur un problème de Mathématiques!
J'ai réussi les premières questions (surligner en vert) mais j'avoue que je bugg pour le reste... Pourriez-vous m'aider S'il vous plait?
En vous remerciant d'avance!
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J'ai réussi les premières questions (surligner en vert) mais j'avoue que je bugg pour le reste... Pourriez-vous m'aider S'il vous plait?
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Bonsoir,1) -
2)a) (Un) croissante et (Vn) décroissante
b) Vn - Un = 1/n!n > 0
==> Vn > Un
(Vn) décroissante ==> Pour tout n (N*) Vn < V1
(Un) croissante ==> Pour tout n (N*) Un > U1
==> V1 > Vn > Un > U1
==> (Un) majorée par V1 et (Vn) minorée par U1
c) (Un) croissante et majorée ==> (Un) convergente
(Vn) décroissante et minorée ==> (Vn) convergente
lim (Vn - Un) = lim 1/n!n = 0
==> lim Un = lim Vn = l
3) a)
f(0) = 1
f(1) = (1 + 1/1! + .... + 1/n!)e^-1 = Un x e^-1
b) f'(x) = e^-x[1/1! + 2.x/2! + ...+ n.x^(n-1)/n!] - e^-x[1 + x/1! + x^2/2! + ... + x^n/n!]
= e^-x[1 + x + ... + x^(n-1)/(n-1)! - 1 - x - .... - x^n/n!]
= e^-x[-x^n/n!]
==> f'(x) <= 0
==> f décroissante
g'(x) = f'(x) + 1/n! = (1 - x^n.e^-x)/n!
Signe de 1 - x^n.e^-x ?
g"(x) = e^-x(x^n - x^(n-1))/n!
= x^(n-1).e^-x(x - 1) <= 0 sur [0,1]
==> g' est décroissante
g'(0) = 1/n! > 0
g'(1) = (1 - e^-1)/n! = (e - 1)/e.n! > 0
Donc g' est positive sur [0,1]
==> g croissante
g(0) = 1
g(1) = Un.e^-1 + 1/n!
On en déduit que pour tout n >= 1 :
1 >= f(x) >= Un.e^-1 (1)
et
1 <= g(x) <= Un.e^-1 + 1/n! (2)
(1) ==> Un <= 1/e^-1
soit Un <= e
(2) ==> Un >= (1 - 1/n!)/e^-1
soit Un >= e - e/n!
Donc : e - e/n! <= Un <= e
c) lim (e - e/n!) <= lim Un <= lim e
==> lim Un = l = e
On sait lim Vn = lim Un = l = e
et Vn >= Un
==> Un <= e <= Vn