Bonjour ;

1.

Soit ABC un triangle rectangle presque isocèle en B ;

avec : BA = x + 1  ; BC = x et AC = y ;

donc en appliquant le théorème de Pythagore ,

on a : AC² = BA² + BC² ;

donc : y² = (x + 1)² + x² = x² + 2x + 1 + x² = 2x² + 2x + 1 .

Supposons maintenant qu'on a deux nombres entiers naturels

tels que : y² = 2x² + 2x + 1 ;

donc : y² = x² + x² + 2x + 1 = x² + (x + 1)² ;

donc le triangle dont les côtés mesurent respectivement

x ; x + 1 et y est un triangle rectangle presque isocèle .

Conclusion.

Le couple de nombres entiers naturels (x ; y) définit un triangle

rectangle presque isocèle si et seulement si : y² = 2x² + 2x + 1 .

2.

a.

On a : y² = 2x² + 2x + 1 = 2(x² + x) + 1 .

Comme x est un nombre entier naturel alors x² est un

nombre entier naturel ;

donc x² + x est un nombre entier naturel ;

donc y² = 2(x² + x) + 1 est un nombre entier naturel impair .

Supposons que y est pair ;

donc il existe k un nombre entier naturel tel que : y = 2k ;

donc y² = (2k)² = 4k² = 2(2k²) .

Comme k est un nombre entier nature alors k² est un nombre

entier naturel ; donc 2k² est un nombre entier naturel ;

donc y² = 2(2k²) est un nombre entier naturel pair , ce qui est

en contradiction avec le résultat trouvé plus haut , donc y est un

nombre entier naturel impair .

b.

d est un diviseur commun de x et y ; donc il existe X et Y deux

nombres entiers naturels non nuls tels que : x = dX et y = dY ;

donc : y² - 2x² - 2x = (dY)² - 2(dX)² - 2(dX)

= d²Y² - 2 d²X² - 2dX = d(dY² - 2dX² - 2X) .

On a aussi y² = 2x² + 2x + 1 ;

donc : y² - 2x² - 2x = 1 ;

donc : d(dY² - 2dX² - 2X) = 1 ;

donc : d divise 1 .

c.

Le seul diviseur entier naturel de 1 est 1 ;

et comme d est un diviseur de 1 alors d ne peut prendre

comme valeurs que 1 .

3.

a.

On complète l'algorithme par : 1000 ; 1000 ; y² = 2x² + 2x + 1 .

b.

On voit bien que y ne prend que des valeurs impairs :

5 ; 29 ; 169 et 985 .

De plus on a :

Le seul diviseur de 3 et 5 est : 1 ;

le seul diviseur de 20 et 29 est : 1 ;

le seul diviseur de 119 et 169 est : 1 ;

et le seul diviseur de 696 et 985 est : 1 .