Bonsoir, j'espère que vous allez bien, mais j'ai une requête, j'ai besoin d'aide ! Dans le plan muni d'un repère orthonormal (0;i; j), on considère les points A (-2; 7) et B (1; 3), et on note I le milieu de [AB].
1- Déterminer l'ensemble (E) des points M du plan tels que MA² - MB² = 0 Construire cet ensemble et en donner une équation.
2- On veut maintenant déterminer l'ensemble (F) des points M du plan tels que:
MA² - MB² = -50.
a-) Montrer que MA²- MB² = 2IM( vecteur)x AB( vecteur).
b-) Construire le point H de la droite (AB) qui vérifie IH( vecteur) x AB( vecteur) = -25.
c-) Décrire alors l'ensemble (F) en justifiant.
merci d'avance !
1- Déterminer l'ensemble (E) des points M du plan tels que MA² - MB² = 0 Construire cet ensemble et en donner une équation.
2- On veut maintenant déterminer l'ensemble (F) des points M du plan tels que:
MA² - MB² = -50.
a-) Montrer que MA²- MB² = 2IM( vecteur)x AB( vecteur).
b-) Construire le point H de la droite (AB) qui vérifie IH( vecteur) x AB( vecteur) = -25.
c-) Décrire alors l'ensemble (F) en justifiant.
merci d'avance !
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1)
Pour déterminer l'ensemble (E) des points M du plan tels que MA² - MB² = 0,
nous pouvons utiliser la formule de distance entre deux points :
AB² = (x2 - x1)² + (y2 - y1)²
En utilisant cette formule, nous pouvons écrire par rapport au point M(x,y) :
MA² = (x - (-2))² + (y - 7)²
MB² = (x - 1)² + (y - 3)²
En utilisant ces expressions pour MA² et MB² dans l'équation MA² - MB² = 0, nous obtenons :
(x - (-2))² + (y - 7)² - [ (x - 1)² + (y - 3)² ] = 0
(x + 2)² + (y - 7)² - [ (x - 1)² + (y - 3)² ] = 0
x² + 4 + 4x + y² + 49 - 14y - [ (x² +1 -2x) + (y² + 9 - 6y) ] = 0
x² + 4 + 4x + y² + 49 - 14y - x² -1 +2x - y² - 9 + 6y = 0
4 + 49 -1 -9 = 0
+6x -8y + 43 =0
C'est une équation d'une droite, que nous pouvons représenter graphiquement pour obtenir l'ensemble (E) des points M du plan tels que MA² - MB² = 0.
L'équation trouvée est +6x -8y + 43 =0. Cette équation représente une droite dans le plan. Tous les points M du plan qui sont sur cette droite ont
la propriété que la différence entre les carrés de leurs distances à A et B est nulle, c'est-à-dire que MA² - MB² = 0.
Cf Image1 ci joint
2) a)
Démontrons que MA²- MB² = 2 VECT(IM) x VECT(AB).
Partons de MA²- MB² :
MA²- MB² = VEC(MA)² - VEC(MB)²
VEC(MA)² - VEC(MB)² = ( VEC(MA) + VEC(MB)).( VEC(MA) - VEC(MB))
Mais :
- VEC(MB) = VEC(BM)
et :
VEC(BM) + VEC(MA) = VEC(BA) (relation de chasles)
aussi :
VEC(MA) = VEC(MI)+ VEC(IA)
VEC(MB) = VEC(MI)+ VEC(IB)
VEC(MA) + VEC(MB) = VEC(MI )+ VEC(IA) + VEC(MI)+ VEC(IB) mais I est milieu de [AB] donc VEC(IA) + VEC(IB) = VEC(0)
en simplifant :
VEC(MA) + VEC(MB) = VEC(MI) + VEC(MI) = 2VEC(MI)
on peut donc écrire :
VEC(MA)² - VEC(MB)² = 2VEC(MI).VEC(BA)
VEC(MA)² - VEC(MB)² = -2VEC(IM).-VEC(AB)
VEC(MA)² - VEC(MB)² = 2VEC(IM).VEC(AB)
C.Q.F.D
b)
M ∈ F ⇔ MA²- MB² = -50
⇔ 2VEC(IM).VEC(AB) = -50
⇔ VEC(IM).VEC(AB) = -25
comme H est le projeté de M sur [AB] :
⇔ VEC(IH) x VEC(AB) = -25
La distance AB est √((xb-xa)² + (yb-ya)²) = √( (1+2)² + (3-7)²) = √(3² + (-4)²)=√(9+16)=√25=5
║VEC(AB)║=5=AB
⇔ +- IH * AB = -25
⇔ +- IH * 5 = -25 DONC IH=-5
VEC(IH) et VEC(AB) sont de sens contraire.
donc H ∈ [IA)
c) L'ensemble F sont tous les points qui sont sur la perpendiculaire (MH) à (AB)