Bonsoir, mon prof de maths nous a donner ca à résoudre et personne dans la classe voit comment faire ! Donc, j'ai besoin d'aide, en plus c'est noté !
Démontrer que racine de 2 n'appartient pas à Q
( Q c'est l'ensemble des nombres rationnels )
Merci !
Démontrer que racine de 2 n'appartient pas à Q
( Q c'est l'ensemble des nombres rationnels )
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Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'exprimer comme le quotient de deux entiers relatifs. Les nombres rationnels non entiers sont souvent notés a/b, où a et b sont deux entiers relatifs ( b non nul). On ne peut pas exprimer la racine de 2 de cette maniere.
Il faut d'abord démontrer que si n² est pair alors n est pair
L'astuce est de démontrer la contraposée: "si n est impair alors n² est impair"
et on conclut que la proposition est vraie:
n impair, donc il existe m tel que n=2m+1
(2m+1)²= 4m²+4m+1= 2(2m²+m)+1, donc (2m+1)² est impair donc n² est impaire.
donc la contraposée est vraie, donc la proposition "si n² est pair alors n est pair" est vraie.
Ensuite voici la démonstration:
On fait une démonstration par l’absurde
On suppose que racine(2) est un nombre rationnel c’est-à-dire qu’il peut s’écrire sous forme d’une fraction irréductible.
soit a/b cette fraction a/b= racine(2)
donc (a/b)²= 2
donc a²/b²=2
donc a²=2b²
donc a² est pair
donc a est pair (propriété qu’on a démontré tout à l’heure)
donc il existe c tel que a =2c
donc 2c/b=racine(2)
donc 4c²/b²=2
donc 4c²=2b²
donc 2c²=b²
donc b² est pair, donc b pair
or ceci est absurde car si a et b sont pairs alors a/b n’est pas irréductible.
Donc l’hypothèse de départ est fausse, donc sa négation est vraie : racine(2) n’est pas un nombre rationnel