Réponse :
Bonsoir, pourriez-vous m'aider pour cet exercice s'il vous plait
1) u1 = 1500 - 0.1 x 1500 + 100 = 1500 x (1 - 0.1) + 100 = 0.9 x 1500 + 100 = 1450
u2 = 0.9 x 1450 + 100 = 1405
u3 = 0.9 x 1405 + 100 = 1364.5
u1 - u0 = 1450 - 1500 = - 50
u2 - u1 = 1405 - 1450 = - 45
on a; u1 - u0 ≠ u2 - u1 donc la suite (un) n'est pas arithmétique
u1/u0 = 1450/1500 ≈ 0.966
u2/u1 = 1405/1450 ≈ 0.968
on a; u1/u0 ≠ u2/u1 donc (un) n'est pas une suite géométrique
2) un+1 = qun + 100 = 0.9 x un + 100
3) pour tout entier naturel n, on a vn = un - 1000 démontrer que la suite (vn) est géométrique
vn+1 = un+1 - 1000
= 0.9 x un + 100 - 1000
= 0.9 x un - 900
= 0.9 x (un - 1000)
= 0.9 x vn cqfd
(vn) est une suite géométrique de premier terme v0 = u0 - 1000 = 500
et de raison q = 0.9
4) en déduire l'expression de (vn) puis (un) en fonction de n
vn = v0 x qⁿ = 500 x 0.9ⁿ
vn = un - 1000
un = vn + 1000
= 500 x 0.9ⁿ + 1000
5) démontrer que pour tout entier naturel n,
on a ; un+1 - un = - 50 x 0.9ⁿ
un+1 - un = 500 x 0.9ⁿ⁺¹ + 1000 - (500 x 0.9ⁿ + 1000)
= 500 x 0.9ⁿ⁺¹ + 1000 - 500 x 0.9ⁿ - 1000
= 500 x 0.9ⁿ x 0.9 - 500 x 0.9ⁿ
= 500 x 0.9ⁿ(0.9 - 1)
= - 50 x 0.9ⁿ
en déduire le sens de variation de (un)
on a ; 0.9ⁿ > 0 et - 50 < 0 donc - 50 x 0.9ⁿ < 0
donc un+1 - un < 0 donc (un) est décroissante sur N
Explications étape par étape :
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Bonsoir, pourriez-vous m'aider pour cet exercice s'il vous plait
1) u1 = 1500 - 0.1 x 1500 + 100 = 1500 x (1 - 0.1) + 100 = 0.9 x 1500 + 100 = 1450
u2 = 0.9 x 1450 + 100 = 1405
u3 = 0.9 x 1405 + 100 = 1364.5
u1 - u0 = 1450 - 1500 = - 50
u2 - u1 = 1405 - 1450 = - 45
on a; u1 - u0 ≠ u2 - u1 donc la suite (un) n'est pas arithmétique
u1/u0 = 1450/1500 ≈ 0.966
u2/u1 = 1405/1450 ≈ 0.968
on a; u1/u0 ≠ u2/u1 donc (un) n'est pas une suite géométrique
2) un+1 = qun + 100 = 0.9 x un + 100
3) pour tout entier naturel n, on a vn = un - 1000 démontrer que la suite (vn) est géométrique
vn+1 = un+1 - 1000
= 0.9 x un + 100 - 1000
= 0.9 x un - 900
= 0.9 x (un - 1000)
= 0.9 x vn cqfd
(vn) est une suite géométrique de premier terme v0 = u0 - 1000 = 500
et de raison q = 0.9
4) en déduire l'expression de (vn) puis (un) en fonction de n
vn = v0 x qⁿ = 500 x 0.9ⁿ
vn = un - 1000
un = vn + 1000
= 500 x 0.9ⁿ + 1000
5) démontrer que pour tout entier naturel n,
on a ; un+1 - un = - 50 x 0.9ⁿ
un+1 - un = 500 x 0.9ⁿ⁺¹ + 1000 - (500 x 0.9ⁿ + 1000)
= 500 x 0.9ⁿ⁺¹ + 1000 - 500 x 0.9ⁿ - 1000
= 500 x 0.9ⁿ x 0.9 - 500 x 0.9ⁿ
= 500 x 0.9ⁿ(0.9 - 1)
= - 50 x 0.9ⁿ
en déduire le sens de variation de (un)
on a ; 0.9ⁿ > 0 et - 50 < 0 donc - 50 x 0.9ⁿ < 0
donc un+1 - un < 0 donc (un) est décroissante sur N
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