Réponse :

Bonjour; on se place dans le repère (A; vecAJ;vecAD)

Explications étape par étape

a)Coordonnées des points A(0; 0), B(2;0), C(2; 1), D(0; 1), J(1;0), I(1; 1)

Déterminons les coordonnées des points M et N

vecDM=(1/3)vecDB donc M est l'image de D par translation de (1/3)vecDB

les coordonnées de vecDB(xB-xD=2 et yB-yD=-1)  donc vecDB(2; -1)

xM=xD+(1/3)xDB=2/3  et yM=yD+(1/3)yDB=1-1/3=2/3     M(2/3; 2/3)

Déterminons celles de N: Si vecBN=(1/3)vecBD alors DN=(2/3)vecDB

N est donc l'image de D par translation de (2/3)vecDB

xN=xD+2/3xDB=4/3  et yN=yD+(2/3)yDB=(1/3)  N(4/3;1/3)

b) Calculons les coordonnées des vec AM et AI

vecAM (2/3;2/3)   vecAI(1; 1)  donc vecAM=2/3 vec AI .Ces deux vecteurs sont colinéaires et  les points A, M, I sont alignés

Calculons celles des vecJN etJC

vecJN xJN=(4/3-1)=1/3 et yJN=1/3-0=1/3   donc vecJN(1/3; 1/3)

vecJC (xJC=2-1=1   yJC=1-0=1)   donc vecJC(1; 1)

on note que vecJN=(1/3) vecJC  ces deux vecteurs sont colinéaires et les points J, N, C sont alignés .

c)  les vecteurs AI et JM sont égaux (mêmes coordonnées) donc les droites (AI) et (Jc) sont //