Bonsoir, pouvez vous m'aider à résoudre ce problème svp ( je sais que je m'y prends un peut tard mais j'ai vraiment vraiment besoin d'aide )
On dispose de 100 ampoules, numérotées de 1 à 100, chacune pouvant être soit allumée, soit éteinte. Ces ampoules sont reliées à trois interrupteurs: A, B et C.En appuyant sur A, on change l’état de toutes les ampoules: Celles qui étaient allumées s’éteignent et celles qui étaient éteintes s’allument.En appuyant sur B, on ne change l’état que des ampoules de numéro impairs.En appuyant sur C, on ne change que l’état des ampoules de la forme 3π +1
Au début de la soirée, toutes les ampoules étaient allumées. Mais, au cours de la fête et emporté par son enthousiasme, Igor a appuyé au total 1000 fois, de façon aléatoire, sur les interrupteurs. Il se trouve qu’alors les ampoules portant les numéros 95 et 96 sont éteintes.Combien d’ampoules sont encore allumées ?
Merci d'avoir pris le temps de lire je compte sur votre aide.
On dispose de 100 ampoules, numérotées de 1 à 100, chacune pouvant être soit allumée, soit éteinte. Ces ampoules sont reliées à trois interrupteurs: A, B et C.En appuyant sur A, on change l’état de toutes les ampoules: Celles qui étaient allumées s’éteignent et celles qui étaient éteintes s’allument.En appuyant sur B, on ne change l’état que des ampoules de numéro impairs.En appuyant sur C, on ne change que l’état des ampoules de la forme 3π +1
Au début de la soirée, toutes les ampoules étaient allumées. Mais, au cours de la fête et emporté par son enthousiasme, Igor a appuyé au total 1000 fois, de façon aléatoire, sur les interrupteurs. Il se trouve qu’alors les ampoules portant les numéros 95 et 96 sont éteintes.Combien d’ampoules sont encore allumées ?
Merci d'avoir pris le temps de lire je compte sur votre aide.
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Réponse :
Bonsoir,
Soit a, b, c les nombres respectifs de fois où Igor a appuyé sur les commutateurs A, B, C. On a donc a + b + c = 1000.
On remarque tout d’abord que d’appuyer un nombre pair de fois sur un même commutateur en annule l’effet.
Puisque 96 est pair et n’est pas de la forme 3n + 1, l’état de l’ampoule de n◦96 est ainsi déterminé par la parité de a. Comme cette ampoule est éteinte, c’est que a est impair.
De même, 95 est impair et n’est pas de la forme 3n + 1, l’état de l’ampoule de n◦95 est ainsi déterminé par la parité de a + b. Comme cette ampoule est éteinte, c’est que a + b est impair. Puisqu’on vient de voir que a est impair, c’est donc que b est pair.
De a + b + c = 1000, on déduit alors que c est impair.
Ainsi, les ampoules sont dans le même état que si Igor avait appuyé sur les commutateurs A puis C, c’est-à-dire s’il avait éteint toutes les ampoules puis rallumé celles portant les numéros 3n + 1 (n = 0, 1, 2, . . . , 33). Il reste donc 34 ampoules allumées.