Réponse :

Exercice classique

Explications étape par étape

U(n+1) =(2/3)Un +1   avec U0=5

1)Vn=Un-3

Vn est une suite géométrique si  V(n+1)/Vn= constante

V(n+1)=U(n+1)-3=(2/3)Un +1 -3=(2/3)Un -2=(2/3)(Un-3)

d'où V(n+1)/Vn=2/3   Vn est donc une suite géométrique de raison q=2/3 et de premier terme: Vo=Uo-3=5-3=2

2) soit Vn=2*(2/3)^n

3)si Vn=Un-3 alors Un=Vn+3 ce qui donne

Un=3+2*(2/3)^n

vérification Uo=3+2*(2/3)^0=3+2=5

4)le terme (2/3)^n tend vers 0 qd n tent vers +oo  la valeur>0 que l'on ajoute à +3 décroît la suite Un est donc décroissante et tend vers +3