Réponse :

(Zn)     Z0 = 0  et  Zn+1 = iZn + 4

1) calculer les 3 premiers termes

Z1 = iZ0 + 4 = 4

Z2 = iZ1 + 4 = 4i + 4

Z3 = iZ2 + 4 = i(4i+4) + 4 = 4i² + 4i + 4 = - 4 + 4i + 4 = 4i     (i² = - 1)

2) Un = Zn - 2 - 2i

démontrer que pour tout entier naturel n, Un+1 = iUn

Un+1 = Zn+1 - 2 - 2i

        = iZn + 4 - 2 - 2i

        = iZn + 2 - 2i

        = i(Zn - 2i - 2)    or Zn - 2i - 2 = Un

donc Un+1 = iUn

3) démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n,  

Un = (- 2 - 2i)iⁿ

a) initialisation : vérifions que P(0) est vraie

U0 = Z0 - 2 - 2i = - 2 - 2i

U0 = (- 2 - 2i)i⁰ = - 2 - 2i

donc P(0) est vraie

b) hérédité :  supposons que P(n) est vraie pour tout entier naturel n

  et montrons  que P(n+1) est aussi vraie pour tout entier naturel n

  Un+1 = Zn+1 - 2 - 2i = iUn   (déjà vu ci-dessus)

  Un+1 = (- 2 - 2i)iⁿ⁺¹ = (- 2 - 2i)iⁿ x i = i(- 2 - 2i)iⁿ) = iUn

 c) conclusion :  on a vérifié que P(0) est vraie et que P(n) est héréditaire

      donc par récurrence P(n) est vraie pour tout entier naturel n

3) en déduire une expression de Zn en fonction de n

 Un = Zn - 2 - 2i ⇒ Zn = Un + 2 + 2i = (- 2 - 2i)iⁿ + 2 + 2i

 Zn = - 2iⁿ - 2iⁿ⁺¹ + 2 + 2i

Explications étape par étape