Réponse :

1) a) calculer U2

sachant que U1 = 100

U2 = 100 + 0.05 x 100 + 20 = 100(1+0.05) + 20 = 1.05 x 100 + 20 = 125

2) justifier que, pour tout n non nul, Un+1 = 1.05 x Un + 20

U2 = 1.05 x 100 + 20  peut s'écrire :  U2 = 1.05 x U1 + 20

U3 = 125 + 0.05 x 125 + 20 = 125(1+0.05) + 20 = 1.05 x 125 + 20

U3 peut s'écrire :  U3 = 1.05 x U2 + 20

U4 = 1.05 x U3 + 20,  ....

donc on peut écrire Un+1 = 1.05 x Un + 20

2) pour tout entier naturel n, non nul  on pose  Vn = Un + 400

    a) calculer V1

        V1 = U1 + 400 = 100 + 400 = 500

    b) démontrer que (Vn) est une suite géométrique et préciser sa raison

            Vn+1 = Un+1  + 400 = 1.05 Un + 20 + 400 = 1.05 Un + 420

              Vn = Un + 400

           Vn+1/Vn = (1.05 Un + 420)/(Un + 400) = 1.05(Un + 400)/(Un + 400)

donc Vn+1/Vn = 1.05  ⇔ Vn+1 = 1.05 x Vn   (Vn) est une suite géométrique de raison q = 1.05

    c) exprimer Vn en fonction de n puis en déduire que

       Un = 500 x 1.05ⁿ⁻¹ - 400

  Vn = V1 x qⁿ⁻¹ = 500 x 1.05ⁿ⁻¹

puisque Vn = Un + 400  ⇔ Un = Vn - 400 ⇔ Un =  500 x 1.05ⁿ⁻¹ - 400

         d) déterminer en fonction de n, la somme   V1 + V2 + .... + Vn

                      Sn = V1 + V2 + .... + Vn

                           =  500 + 500 x 1.05 + ..... + 500 x (1.05)ⁿ⁻¹

                           = 500(1 + 1.05 + 1.05² + .... + (1.05)ⁿ⁻¹

                          = 500 x (1 - (1.05)ⁿ)/(1-1.05)

                          = 500 x (1 - (1.05)ⁿ)/-0.5

                          = - 1000 x (1 - (1.05)ⁿ)

5) quelle réponse Marc doit-il donner

              - 1000 x (1 - (1.05)ⁿ) = 10 000 ⇔ - 1 + (1.05)ⁿ = 10  ⇔ (1.05)ⁿ = 11

                 n ln (1.05) = ln (11)  ⇔ n = ln(11)/ln(1.05) = 2.3978/0.04879 ≈ 49 j  

Explications étape par étape